热门试卷

解：（I）因为EC=ED，

所以∠EDC=∠ECD

因为A，B，C，D四点在同一圆上，

所以∠EDC=∠EBA

故∠ECD=∠EBA，

所以CD∥AB

（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，

因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC

从而∠FED=∠GEC

连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE

又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，

所以∠AFG+∠GBA=180°

故A，B．G，F四点共圆

证明：（Ⅰ）连接OP，OM．

因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP．

因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC．

于是∠OPA+∠OMA=180°．

由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形M的对角互补，

所以A，P，O，M四点共圆．

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．

由（Ⅰ）得OP⊥AP．

由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．

又∵A，P，O，M四点共圆

∴∠OPM=∠OAM

所以∠OAM+∠APM=90°．

解：（1）连接OB，则OA=OB；∵∠OAB=36°，∴∠OBA=∠OAB=36°，

∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA，∴∠AOB=180°-36°-36°=108°，

∴β=∠C=∠AOB=54°．                                      …（3分）

（2）α与β之间的关系是α+β=90°；证明：∵∠OBA=∠OAB=α，∴∠AOB=180°-2α，

∵β=∠C=∠AOB，∴β=（180°-2α）=90°-α，∴α+β=90°．…（6分）

（3）∵点C平分优弧AB，

∴

∴AC=BC，

又∵BC2=3OA2，∴AC=BC=OA，

过O作OK⊥AC于K，连接OC，由垂径定理可知：AK=AC=OA，∴∠CAO=30°

易得：∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，∴△ABC为正三角形，

则：α=∠CAB-∠CAO=30°                                          …（10分）

证明：由∠APB=90°得AB为直径，∴∠ACB=90°．

∵PC平分∠APB，交⊙O于点C．

∴∠CPA=∠CPB．

由同圆或等圆中圆周角相等则弦也相等，

∴AC=BC，

∴△ABC为等腰直角三角形．

解：∵圆的面积为3140平方厘米，

∴圆的半径为10厘米，

∴内接正方形ABCD的边长为•10=20厘米，

∴内接正方形ABCD的面积S=（20）2=2000平方厘米．

证明：（1）如图，∵点I是△ABC的内心，

∴∠MBI=∠CBI，BM=MC，BI=BI，

∴△MBI≌△CBI，

则MI=CI；

同理，可证NI=CI，

所以MI=NI=CI，

因此点I是△MNC的外心；

（2）因为△MBI≌△CBI，

所以∠BMI=∠BCI，

同理，可得∠ANI=∠ACI，

又因为∠MIN+∠BMI+∠ANI=180°，

∠ABC+∠BAC+∠ACI+∠BCI=180°，

所以∠MIN=∠ABC+∠BAC．