- 相似三角形的判定及有关性质
- 共634题
正确答案
解析
解：∵∠BAC=90°，D是BC中点，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C，
又∵AE⊥AD，
∴∠EAB+∠BAD=90°，∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB=∠C，
而∠E是公共角，
∴△BAE∽△ACE
故选C．
正确答案
8
解析
∵AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC，
∵OP∥BC，
∴OP⊥AC，OP=
Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，
∴4=
∴OD=8．
故答案为：8．
（1）求证：△DFE∽△EFA；
（2）如果EF=1，求FG的长．
正确答案
∴∠DEF=∠DAB，∴∠DEF=∠DAB．
又∵∠DFE=∠EFA∴△DFE∽△EFA…（4分）
（2）解∵△DFE∽△EFA，
∴
又∵FG切圆于G，
∴GF2=FA•FD．
∴EF2=FG2．∴EF=FG．
已知EF=1，
∴FG=1…（8分）
解析
∴∠DEF=∠DAB，∴∠DEF=∠DAB．
又∵∠DFE=∠EFA∴△DFE∽△EFA…（4分）
（2）解∵△DFE∽△EFA，
∴
又∵FG切圆于G，
∴GF2=FA•FD．
∴EF2=FG2．∴EF=FG．
已知EF=1，
∴FG=1…（8分）
在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE：EB=1：2，DE与AC交于点F，若△AEF的面积为6cm2，则△ABC的面积为______cm2．
正确答案
72
解析
由三角形AEF和三角形FCD相似，可得AF：FC=AE：CD=1：3，
∵△FAE 的面积为6cm2 ，
∴△FBE 的面积等于12cm2 ，
△AFB的面积为6+12=18cm2 ，
又△BFC的面积等于△AFB的面积的3倍，
∴△FBC的面积为3×18=54cm2 ，
∴△ABC的面积等于△BAF 的面积18cm2 加上△BFC的面积54cm2 ，等于 72cm2 ．
故答案为 72 cm2 ．
△ABC中，中线AD、BE交于点G，FG∥AC，求
正确答案
解：∵△ABC中，中线AD、BE交于点G，
∴G为△ABC的重心，
∴
∴
解析
解：∵△ABC中，中线AD、BE交于点G，
∴G为△ABC的重心，
∴
∴
正确答案
8：27
解析
解：∵DF∥EG∥BC，AD：DE：EB=1：2：3，
∴△ADF∽△AEG∽△ABC，AD：AE：AB=1：3：6
∴S△ADF：S梯形DEGF：S梯形EBCG=1：（9-1）：（36-9）=1：8：27．
故答案为：8：27．
正确答案
3
解析
解：∵PA是切线，
∴∠BAP=∠ACP，
∵∠P=∠P，
∴△PAB～△PCA，则
即
∴PC=8．设圆的半径为r，
由切割线定理PA2=PB•PC得，16=（8-2r）×8．
解出r=3．
故填：3．
如图，在△ABC中，AB=8，AC=7，BC=6，D是AB的中点，∠ADE=∠ACB，则DE=______．
正确答案
解析
解：∵∠ADE=∠ACB，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴
∵AB=8，D是AB的中点，
∴AD=4，
∵AC=7，BC=6，
∴
∴DE=
故答案为：
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等，在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗，如果不可能，请说明理由，如果可能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
正确答案
（1）证明：当∠AOF=90°时，AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形；（2分）
（2）解：四边形BEDF可以是菱形．
如图，连接BF，DE，∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=EC，OE=OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．（6分）
在Rt△ABC中，AC=2，∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，（7分）
∴∠AOF=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．（9分）
解析
（1）证明：当∠AOF=90°时，AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形；（2分）
（2）解：四边形BEDF可以是菱形．
如图，连接BF，DE，∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=EC，OE=OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．（6分）
在Rt△ABC中，AC=2，∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，（7分）
∴∠AOF=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．（9分）
正确答案
解析
解：由同弧所对的圆周相等得：△BDE∽△ACE
得
在Rt△ABD中，AD=6，
由勾股定理可求得AB=
故答案为：2
如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F
求证：（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB2=BE•BD-AE•AC．
正确答案
又EF⊥AB∠EFA=90°则A，B，C，D四点共圆…（4分）
∴∠DEA=∠DFA…（5分）
（2）由（1）知BD•BE=BA•BF…（6分）
又△ABC∽△AEF∴
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB（BF-AF）=AB2…（10分）
解析
又EF⊥AB∠EFA=90°则A，B，C，D四点共圆…（4分）
∴∠DEA=∠DFA…（5分）
（2）由（1）知BD•BE=BA•BF…（6分）
又△ABC∽△AEF∴
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB（BF-AF）=AB2…（10分）
正确答案
∵AE=0.2km，AF=0.5km，BM=1km，
∴
∴BN=2.5km，
即在EB上取BN=2.5km连接MN即为所求．
解析
∵AE=0.2km，AF=0.5km，BM=1km，
∴
∴BN=2.5km，
即在EB上取BN=2.5km连接MN即为所求．
正确答案
9
解析
解：如图所示，
∵点M是BC的中点，∴
∵MF∥AD，∴
∵CF+FA=11，∴CF=9．
（Ⅰ）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；
（Ⅱ）当△PDB∽△ACP时，试求∠APB的度数．
正确答案
解：（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
若CD2=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，
即
则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB；
（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°
∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°
即可得∠APB的度数为120°．
解析
解：（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
若CD2=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，
即
则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB；
（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°
∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°
即可得∠APB的度数为120°．
（Ⅰ）求证：△DEF∽△EFA；
（Ⅱ）如果FG=1，求EF的长．
正确答案
（Ⅰ）证明：因为EF∥CB，所以∠BCE=∠FED，又∠BAD=∠BCD，所以∠BAD=∠FED，
又∠EFD=∠EFD，所以△DEF∽△EFA．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
因为FG是切线，所以FG2=FD•FA，所以EF=FG=1．…（10分）
解析
（Ⅰ）证明：因为EF∥CB，所以∠BCE=∠FED，又∠BAD=∠BCD，所以∠BAD=∠FED，
又∠EFD=∠EFD，所以△DEF∽△EFA．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
因为FG是切线，所以FG2=FD•FA，所以EF=FG=1．…（10分）
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