- 相似三角形的判定及有关性质
- 共634题
己知△ABC中，AB="AC" , D是△ABC外接圆劣弧
(1)求证：AD 的延长线平分
(2)若
求△ABC外接圆的面积．
正确答案
解：( 1 ）如图，设F为AD延长线上一点，∵A，B，C， D 四点共圆，
∴
故AD 的延长线平分
连接 OC ，由题意
∴
得：r=" 2" ，故外接圆面积为
略
（几何证明选讲选做题）在平行四边形
正确答案
72
如图，连接
∵
故
而
∴
又∵
∴
∴
如图，
正确答案
6
略
在边长为1的正三角形
正确答案
解：因为在边长为1的正三角形
如图设M为线段AB中点，AE与BD交于点C ∠DME=∠A=∠B=
（1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；
（2）连结FG，设
正确答案
△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD， △AMF∽△BGM …………3分
∵∠AMD=∠B+∠D ∠BGM=∠DMG+∠D
又∠B=∠A=∠DME=
∴∠AMF=∠BGM ∴△AMF∽△BGM …………5分
（II）由（1）△AMF∽△BGM 
∠
AB=
略
如图，
正确答案
1
略
△ABC中，AB＝
正确答案
解：取BC中点E，连结OE，
在OBE中，
在△ABC中，
在△ABC中，
如图，AB∥CD，E、F分别为AD、BC的中点，若AB=18，CD=4，则EF的长是 ．
正确答案
7
试题分析：因为AB∥CD，设AD,BC的交点为O，所以
因为E、F分别为AD、BC的中点，所以
所以EF的长是7.
点评：三角形相似，对应边成比例，应用时要注意不要弄错对应边.
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 __
正确答案
因为
所以
（（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小。
正确答案
解：因为MA是圆O的切线，所以MA2=MB·MC…………………………………………
又M是PA的中点，所以MP2=MB·MC
因为∠BMP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC……………………………………………………6分
于是∠MPB=∠MCP，
在△MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP =180°，得∠MPB=20°…………………10分
略
如图，正方形ABCD中，M是边CD的中点，
设
正确答案
略
如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则
正确答案
取ＣＦ的中点Ｍ，连接ＤＭ，因为Ｄ为ＡＣ的中点，则ＤＭ／／ＡＦ，又因为Ｅ为ＢＤ的中点，所以Ｆ为ＢＭ的中点，所以ＢＦ＝ＦＭ＝ＭＣ，所以
如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接三角形，
DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．
正确答案
试题分析：过A作AI垂直BC于I，交DG于H ，设正方形边长
似比可得关于实数a的一元二次方程：
正方形最大面积为
点评：此题的关键是用含x的式子表示矩形的长，涉及相似形的性质．运用二次函数的性质
求最值常用配方法或公式法．
如图，在
正确答案
因为
如图，以椭圆
（1）证明c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；
（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明
正确答案
（1）证明：由题设条件知，
即
解：在
于是，直线OA的斜率
设直线BF的斜率为k，则
这时，直线BF的方程为
令x=0，则
所以直线BF与y轴的交点为M（0，a）；
（2）证明：由（1），得直线BF的方程为y=kx+a，且
由已知，设
则它们的坐标满足方程组
由方程组③消去y，并整理得
由式①、②和④，
由方程组③消去x，并整理得
由式②和⑤，
综上，得到
注意到
得
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