- 相似三角形的判定及有关性质
- 共634题
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD。
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=
正确答案
（1）证明：如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线。
（2）解：∵ED是直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠E+∠EDC=90° ，
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴
∵tan∠CED=
∵△BCD∽△BEC，
∴
设BD=x，则BC=2，
又BC2=BD·BE，
∴（2x）2=x·（x+6），解得：x1=0，x2=2，
∵BD=x＞0，∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5。
（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．
求证：(1)∠DEA=∠DFA；
(2)AB2=BE·BD-AE·AC。
正确答案
证明：(1)连结AD，因为AB为圆的直径，
所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠EFA=90°，
则A、D、E、F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA；
(2)由(1)知，BD·BE=BA·BF，
又△ABC∽△AEF，
∴
∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB(BF-AF)=AB2。
如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，过点C作圆O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．
(Ⅰ)求证：AB2=DE·BC；
(Ⅱ)若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．
正确答案
解：(Ⅰ)∵AD∥BC，
∴
又PC与圆O相切，
∴
∴
∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
∵
∴
又∵
∴
∴
从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB及一条割线PCD，A、B为切点，求证：
正确答案
证明：
又AP=BP，③
由①②③知：
（选做题）如图△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，BD∥MN，AC与BD相交于点E，
(1)求证：AE=AD；
(2)若AB=6，BC=4，求AE。
正确答案
（1）证明：∵BD ∥MN，
∴
又∵MN为圆的切线，
∴
∴∠DCN=∠CAD，
∴
∴
又
∴
∴AE=AD。
（2）解：
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=BC=4，
设AE=x，易证
又
所以
（选做题）如图设M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G。
（1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；
（2）连结FG，设α=45°，AB=4
正确答案
解：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM；
∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D，
又∠B=∠A=∠DME=α，
∴∠AMF=∠BGM，
∴△AMF∽△BGM。
（2）由（1）△AMF∽△BGM，
∠α=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
AB=
如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB2=AP·AD，
（Ⅰ）求证：AB=AC；
（Ⅱ）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长。
正确答案
（Ⅰ）证明：连接BP，
∵AB2=AP·AD，
∴
又∵∠BAD=∠PAB，
∴△ABD∽△APB，
∴∠ABC=∠APB，
∵∠ACB=∠APB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AB=AC，
∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵P为弧AC的中点，
∴∠ABP=∠PAC=
∴∠BAP=90°，
∴BP是⊙O的直径，∴BP=2，
∴
在Rt△PAB中，由勾股定理得
∴
如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，求证：BE·BF=BC·BD。
正确答案
解：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，
又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF
∴
即BE·BF=BC·BD。
（选做题）如图设M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G。
（1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；
（2）连结FG，设α=45°，AB=4
正确答案
解：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM；
∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D，
又∠B=∠A=∠DME=α，
∴∠AMF=∠BGM，
∴△AMF∽△BGM。
（2）由（1）△AMF∽△BGM，
∠α=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
AB=
（选做题）
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC．
（Ⅰ）求证：∠P=∠EDF；
（Ⅱ）求证：CE·EB=EF·EP．
正确答案
证明：（1）∵DE2=EF·EC，
∴DE：CE=EF：ED．
∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED．
∴∠EDF=∠C．
∵CD∥AP，
∴∠C=∠P．
∴∠P=∠EDF．
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA．
∴DE：PE=EF：EA．即EF·EP=DE·EA
∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE·EA=CE·EB．
∴CE·EB=EF·EP．
（选做题）
如图，在△ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F，求
正确答案
解：过D点作DM∥AF交BC于M，
∵DM∥AF，
∴
∵EF∥DM，
∴
又
∴S四边形DEFC=14S△BEF，
∴
（选做题）
如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧的中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F，连结CE，
（Ⅰ）求证：AC为⊙O的直径。
（Ⅱ）求证：AG·EF=CE·GD。
正确答案
证明：（Ⅰ）连结DG，AB，
∵AD为⊙M的直径，
∴
在⊙O中，
∴AC为⊙O的直径。
（Ⅱ）∵
∴
∵点G为弧BD的中点，
∴
在⊙O中，
∴△AGD∽△ECF，
∴AG·EF=CE·GD。
如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，求证：
正确答案
证明：连接AD，
由同弧所对圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，
AB为直径
CD⊥AB，OB=OC
如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，
(Ⅰ)证明：△ABE∽△ADC；
(Ⅱ)若△ABC的面积S=
正确答案
(Ⅰ)证明：由已知条件，可得∠BAE=∠CAD，
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD，
故△ABE∽△ADC。
(Ⅱ)解：因为△ABE∽△ADC，
所以
又
故AB·AC·sin∠BAC=AD·AE，
则sin∠BAC=1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC=90°．
如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为圆O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，求证：△POF~△POC。
正确答案
证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，
从而∠PDF=∠OCP，
在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，
故△PDF~△POC．
扫码查看完整答案与解析