相似三角形的判定及有关性质
共634题

相似三角形的判定及有关性质
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题型：简答题

简答题

如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E。

（I）证明：△ABE∽△ADC；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=AD·AE，求∠BAC的大小。

正确答案

解：（Ⅰ）证明：由已知条件，可得∠BAE=∠CAD

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角

所以∠AEB=∠ACD

故△ABE∽△ADC；

（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC

所以

即 AB · AC=AD · AE

又

故AB·ACsin∠BAC= AD·AE

则sin∠BAC =1

又∠BAC为三角形内角

所以∠BAC=90°。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若AC=3，求AP·AD的值。

正确答案

解：（1），

∴，∴，

又∵AB=AC，

∴。

（2），

∴，

∴。

题型：填空题

填空题

如图，已知AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，切线BF交AD的延长线于F，若AB=10，CD=8，则切线BF的长是 ______．

正确答案

连接OD，

AB⊥CD于E，根据垂径定理得到DE=4，

在直角△ODE中，根据勾股定理得到OE=3，因而AE=8，

易证△ABF∽△AED，得到 ==，

解得BF=5．

题型：填空题

填空题

如下图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，△AEF的面积为6，则△ADF的面积为（）。

正确答案

题型：简答题

简答题

（选做题）如图△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，BD∥MN，AC与BD相交于点E，

(1)求证：AE=AD；

(2)若AB=6，BC=4，求AE。

正确答案

（1）证明：∵BD ∥MN，

∴，

又∵MN为圆的切线，

∴，则，

∴∠DCN=∠CAD，

，

∴，

又，

∴，

∴AE=AD。

（2）解：且AE=AD，

∴△ABE≌△ACD，

∴BE=CD=BC=4，

设AE=x，易证，

又，

所以。

题型：简答题

简答题

（选做题）

如图，ΔABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E，

（Ⅰ）求证：ΔABE≌ΔACD；

（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求AE。

正确答案

解：（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，

又∠BAE=∠EDC，

∵BD∥MN，

∴∠EDC=∠DCN，

∵直线是圆的切线，

∴∠DCN=∠CAD，

∴∠BAE=∠CAD，

∴ΔABE≌ΔACD（角、边、角）。

（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，

∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，

又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，

∴BC=BE=4，

设AE=x，易证ΔABE∽ΔDEC，

∴，

又AE·EC=BE·ED，EC=6-x，

∴，。

题型：简答题

简答题

如图，A，B，C，D四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上。

正确答案

（1）解：∵A，B，C，D四点共圆

∴∠EDC=∠EBF

又∵∠DEC=∠AEC

∴△ECD∽△EAB

又∵

∴

(2)证明：∵EF2=FA·FB

又∵∠EFA=∠BFE

∴△FAE∽△FEB

∴∠FEA=∠EBF

又∵A，B，C，D四点共圆

∴∠EDC=∠EBF

∴∠FEA=∠EDC

∴EF∥CD

题型：简答题

简答题

（选做题）如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC，

（1）求证：∠P=∠EDF；

（2）求证：CE·EB=EF·EP。

正确答案

证明：（1），

∴DE：CE=EF：ED，

是公共角，

∴△DEF相似于△CED，所以∠EDF=∠C，

∵CD∥AP，

∴∠C=∠P，

∴∠P=∠EDF；

（2），

∴△DEF相似△PEA，

∴，即EF·EP=DE·EA，

∵弦AD，BC相交于点E，

∴DE·EA=CE·EB，

∴CE·EB=EF·EP。

题型：简答题

简答题

（选做题）

如图，ABCD是圆的内接四边形，AB∥CD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，

证明：（Ⅰ）∠DBC=∠AEC；

（Ⅱ）BC2=BE·CD。

正确答案

证明：（Ⅰ）因为是圆的内接四边形，

所以，

又因为与圆相切于点，

所以，

因为，

所以，

故；

（Ⅱ），

所以，

又因为

所以∽，

故

即。

题型：简答题

简答题

（选做题）

如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且BD·BE=BA·BF，

求证：（Ⅰ）EF⊥FB；

（Ⅱ）∠DFB+ ∠DBC=90°。

正确答案

证明：（Ⅰ）连接，

在中，

，

∴，

又，

∴△ADB∽，

则，

∴EF⊥FB。

（Ⅱ）在中，，

又，

∴四点共圆；

∴，

又是⊙的直径，

则，

∴。

题型：填空题

填空题

如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD=3，AD=4，AB=2，则BC=（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

如图，以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，△AEF的面积为6，则△ADF的面积为（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1，且AB=A1B1，若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

如图，圆O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB=OA=2，则PF=（）。

正确答案

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