相似三角形的判定及有关性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于______．

正确答案

5

解析

解：AB为圆的直径，

∴∠ACB=90°

在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD，

∴16=8×AD，

∴AD=2，

∴半径==5

故答案为：5

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题型：单选题

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单选题

如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，AE⊥BD，，AD=1，则BE=（　　）

A1

B

C

D

正确答案

B

解析

解：矩形各内角为直角，∴△ABD为直角三角形

在直角△ABD中，，AD=1，

则BD==，

再由射影定理，得AB2=BE×BD

∴

故选B．

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题型：填空题

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填空题

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则+的取值范围为______．

正确答案

[2，]

解析

解：由余弦定理b2+c2=a2+2cosAbc

由面积公式bcsinA=a2，

∴b2+c2=bc（sinA+2cosA）

∴+==sinA+2cosA=sin（A+φ），（tanφ=2）

∵sin（A+φ）≤，

∴+≤，

∵+≥2=2，

∴+的取值范围为[2，]

故答案为：[2，]

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=a，则DB=（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：如图所示，

△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，

∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°；

∴BC=AB；

又∵CD⊥AB于D，AB=a，

∴∠BCD=30°，

∴DB=BC=AB=．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD=3DB，设∠COD=θ，则tan2=（　　）

A

B

C4-2

D3

正确答案

A

解析

解：设半径为R，

则AD=R，BD=，

由射影定理得：

CD2=AD•BD

则CD=R，

从而θ=，

故tan2=，

故选A．

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题型：单选题

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单选题

设AB是已知圆的直径（如图），C是线段AB上一点，D是此圆周上一点（不同于A、B），且，则在下列结论中错误的是（　　）

A|AB|≥2|CD|

B

C

D|AD|2+|BD|2＜4|CD|2

正确答案

D

解析

解：∵|AB|=a+b=2|CD|，∴A正确；

延长DC至E，则AC×CB=DC×CE，∵，∴，

∴C是DE的中点，∴AB⊥CD，∴，故B正确；

∵AB是已知圆的直径，∴AD⊥BD，∴，故C正确；

∵AD|2+|BD|2=|AB|2=（a+b）2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=4ab=4|CD|2，故D不正确；

故选D．

1

题型：填空题

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填空题

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，BC=，AC=3，则BD=______．

正确答案

解析

解：由勾股定理得AB===2．由直角三角形射影定理，BC2=BD×BA，3=2×BD，BD=

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，点P在A1B上，且AB⊥CP．

（1）证明：P为A1B中点．

（2）若A1B⊥AC1，求二面角B1-PC-B的余弦值．

正确答案

解：（1）证明：取AB中点Q，∴CQ⊥AB

又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO∴AB⊥PQ，A1A⊥AB

得A1A∥PQ，点Q是AB的中点

∴P为A1B的中点（4分）

（2）连接AB1，取AC中点R，连接A1R，

则BR⊥平面A1C1CA，∴BR⊥AC1，由已知A1B⊥AC1，∴A1R⊥AC1，∴△AC1C～△A1RA∴，∴（6分）

则，则AC=2

连B1A，B1R，BR，∵AC⊥平面B1BR，∴平面B1AC⊥平面B1BR，

平面B1AC∩平面B1BR=B1R，过B作BH⊥B1R，垂足为H，

则BH⊥平面B1PC，过B作BG⊥PC，

连接GH，那么∠BGH为二面角B1-PC-B的平面角（8分）

在△B1BR中，在△PBC中，（10分）∴∴（12分）

解析

解：（1）证明：取AB中点Q，∴CQ⊥AB

又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO∴AB⊥PQ，A1A⊥AB

得A1A∥PQ，点Q是AB的中点

∴P为A1B的中点（4分）

（2）连接AB1，取AC中点R，连接A1R，

则BR⊥平面A1C1CA，∴BR⊥AC1，由已知A1B⊥AC1，∴A1R⊥AC1，∴△AC1C～△A1RA∴，∴（6分）

则，则AC=2

连B1A，B1R，BR，∵AC⊥平面B1BR，∴平面B1AC⊥平面B1BR，

平面B1AC∩平面B1BR=B1R，过B作BH⊥B1R，垂足为H，

则BH⊥平面B1PC，过B作BG⊥PC，

连接GH，那么∠BGH为二面角B1-PC-B的平面角（8分）

在△B1BR中，在△PBC中，（10分）∴∴（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知圆O的直径AB=4，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D，若CD=，则AC的值为______．

正确答案

解：连接BC，∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°．

∵CD⊥AB，∴CD2=AD•DB，设AD=x，则，化为x2-4x+3=0，

解得x=1或3．当AD=1时，=2；

当AD=3时，=．

综上可知：AC=2或．

解析

解：连接BC，∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°．

∵CD⊥AB，∴CD2=AD•DB，设AD=x，则，化为x2-4x+3=0，

解得x=1或3．当AD=1时，=2；

当AD=3时，=．

综上可知：AC=2或．

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题型：单选题

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单选题

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若，则=（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：如图所示，

∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，

∴AB2=BD•BC，AC2=CD•BC，

又．

∴=．

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

如图在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，则BD=______．

正确答案

6.4

解析

解：∵△ABC是直角三角形，CD⊥AB，

∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，

∴∠B=∠ACD，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∵AC=6，AD=3.6，

∴AB=10，

∴BD=10-3.6=6.4．

故答案为：6.4．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．

求证：AF•AC=BG•BE．

正确答案

证明：∵CD垂直平分AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=DB．

在Rt△ADC中，∵DF⊥AC，∴AD2=AF•AC．

同理BD2=BG•BE．

∴AF•AC=BG•BE．

解析

证明：∵CD垂直平分AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=DB．

在Rt△ADC中，∵DF⊥AC，∴AD2=AF•AC．

同理BD2=BG•BE．

∴AF•AC=BG•BE．

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题型：单选题

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单选题

如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则AD的长等于（　　）

A2

B4

C6

D8

正确答案

A

解析

解：∵AB是圆O的直径

∴AC⊥BC

∴∠B+∠A=90°

∵CD⊥AB

∴∠B+∠DCB=90°

∴∠DCB=∠A

∴Rt△ADC∽Rt△CDB

∴⇒DC2=AD•DB

∵CD=4，BD=8

∴AD=

故选A

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题型：填空题

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填空题

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是______．

正确答案

①④

解析

解：由所给的正方体知，

△PAC在该正方体上下面上的射影是①，

△PAC在该正方体左右面上的射影是④，

△PAC在该正方体前后面上的射影是④

故答案为：①④

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题型：填空题

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填空题

在△ABC外作正方形ABDE和正方形ACFG，已知BC=13，CA=8，AB=15，则△AEG的面积为______．

正确答案

30

解析

解：如图，

△ABC中，cos∠BAC==；

∴sin∠BAC=，

∴sin∠EAG=sin∠BAC=；

∴△AEG的面积为

S△AEG=•AE•AG•sin∠EAG

=×15×8×=30；

故答案为：30．

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