热门试卷

解：∵BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，

在圆中∠BCD=∠BAD，∴∠PED=∠BAD，

∴△EPD∽△APE，

∴

∵PD=2DA=2

∴PE2=PA•PD=3×2=6，

∴PE=．

（Ⅰ）证明：因为Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC．

显然△ABD∽△CBA

∴，即AB•AC=AD•BC

（Ⅱ）∵由射影定理知AD2=AE•AB

又由三角形相似可知，且DF=AE

∴AE•AB•AD=BC•CF•BE，结合射影定理

∴AD3=BC•BE•CF．

故得证．

解：AB==5．

∵AC是⊙O的直径，AC⊥BC，∴BC是⊙O的切线．

∴BC2=BD•BA，

∴==．

（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，

因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，

所以，即∠CDO=∠BCE，

故Rt△CDO≌Rt△BCE，

所以．…（5分）

所以E是AB的中点．

（2）解：连接BF，

∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB

∴△FEB∽△BEC，

得，

∵ABCD是边长为a的正方形，

所以．…（10分）

证明：（Ⅰ）证明：连接BD，

因为AB为⊙O的直径，

所以BD⊥AC，又∠B=90°，

所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，

因此EB=ED，∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，

所以∠CDE=∠C，

得ED=EC，因此EB=EC，即E是BC的中点

（Ⅱ）证明：连接BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，

可得△ABE∽△AAFB，

于是有，即AB2=AE•AF，

同理可得AB2=AD•AC，所以AD•AC=AE•AF

证明：（Ⅰ）在△EAB与△ECA中，

因为AE为圆O的切线，

所以∠EBA=∠EAC

因为∠E公用，

所以∠EAB=∠ECA，

因为△ADC为正三角形，

所以∠BAE=∠ECA=120°；

（Ⅱ）因为AE为圆O的切线，所以∠ABD=∠CAE．             

因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC=∠ACD，

所以∠ADB=∠ECA，所以△ABD∽△EAC．               

所以=，即AD•CA=BD•EC．                      

因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，

所以CD2=BD•EC．

解：（Ⅰ）∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD，

∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC，

∴△BCD∽△CED，

∴=，

∴CD2=DE×DB，

∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE2+DE×BE，DE×BE=AE×EC，

∴CD2-DE2=AE×EC．…（6分）

（Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，

∴∠COD=60°．∴∠CBD=∠COD=30°，

∴∠ACD=∠CBD=30°．…（10分）

证明：（1）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，（2分）

∵CD是圆的切线，∴OC⊥CD，（4分）

∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA

故∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．（6分）

解：（2）由（1）得：，∴BC=CE，（8分）

连结CE，则∠DCE=∠DAC=∠OAC，

∴△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC

∴，

故．（10分）

证明：作DO∥AB交AC于O．

则由AB=AC易知OD=OC，且∠DOC=∠A=2∠CED，

所以O为△EDC的外心，

取F为△EDC的外接圆与AC的交点，则OF=OC=OD，∠ACE=∠ADF．

所以△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE．

再由DO∥AB，∠ADO=∠BAE，∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB，

所以△ADO∽△ABE，即得．

故AF=OD=OC=CF，从而AO=2OC．

由DO∥AB得：BD=2CD．