同角三角函数间的基本关系及应用
共7627题

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同角三角函数间的基本关系及应用
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题型：简答题

简答题

已知角A、B、C是△ABC的三内角．

（1）若tanA，tanB，tanC均有意义，证明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

（2）若tanA，tanB，tanC为连续的正整数，最大边c的长为100，求边长a和△ABC的面积．

正确答案

解：（1）∵角A、B、C是△ABC的三内角，∴C=π-（A+B），

由两角和的正切公式可得tan（A+B）=，

∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB），

∴tanA+tanB+tanC=-tanC（1-tanAtanB）+tanC

=tanC（-1+tanAtanB+1）=tanAtanBtanC；

（2）∵tanA，tanB，tanC为连续的正整数，

故可设tanA=n-1，tanB=n，tanC=n+1，其中n为大于等于2的正整数，

由（1）可得（n-1）n（n+1）=n-1+n+n+1，解得n=2，

故tanA=1，tanB=2，tanC=3，∴sinA=，sinB=，sinC=，

又∵最大边c的长为100，∴由正弦定理可得a==，

∴△ABC的面积S=acsinB=

解析

解：（1）∵角A、B、C是△ABC的三内角，∴C=π-（A+B），

由两角和的正切公式可得tan（A+B）=，

∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB），

∴tanA+tanB+tanC=-tanC（1-tanAtanB）+tanC

=tanC（-1+tanAtanB+1）=tanAtanBtanC；

（2）∵tanA，tanB，tanC为连续的正整数，

故可设tanA=n-1，tanB=n，tanC=n+1，其中n为大于等于2的正整数，

由（1）可得（n-1）n（n+1）=n-1+n+n+1，解得n=2，

故tanA=1，tanB=2，tanC=3，∴sinA=，sinB=，sinC=，

又∵最大边c的长为100，∴由正弦定理可得a==，

∴△ABC的面积S=acsinB=

题型：简答题

简答题

已知sinθ+cosθ=，（0＜θ＜π），求tanθ的值．

正确答案

解：θ∈（0，π），0＜sinθ+cosθ=＜1，①∴θ∈（，））．

两边平方可得sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=，

∴2sinθcosθ=，

∴sinθ-cosθ=②

由①②得sinθ=，cosθ=．

所以tanθ===-．

解析

解：θ∈（0，π），0＜sinθ+cosθ=＜1，①∴θ∈（，））．

两边平方可得sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=，

∴2sinθcosθ=，

∴sinθ-cosθ=②

由①②得sinθ=，cosθ=．

所以tanθ===-．

题型：填空题

填空题

=______．

正确答案

解析

解：∵对任意的角α，都有sin2α+cos2α=1，

∴=1，

故答案为：1．

题型：单选题

单选题

A为三角形ABC的一个内角，若，则这个三角形的形状为（　　）

A锐角三角形

B钝角三角形

C等腰直角三角形

D等腰三角形

正确答案

解析

解：将sinA+cosA=两边平方，得，

∴，

又∵0＜A＜π，则sinA＞0，

∴cosA＜0，即A为钝角，

∴△ABC为钝角三角形．

故选B．

题型：填空题

填空题

若sin=-，0≤α≤π，则tanα的值是______．

正确答案

0或-

解析

解：∵0≤α≤π，∴≤，

∴-=-=+-，

当α=0时，满足sin=-，则tanα=0；

当时，-=+-=2=，可得2=1，舍去；

当＜＜时，-=+-=2，tan=2，∴tanα===-．

当α=π时，sin=-化为1=1-1=0，矛盾，舍去．

综上可得：tanα=0或-．

故答案为：0或-．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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