- 同角三角函数间的基本关系及应用
- 共7627题
求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ca，这里a，b，c是△ABC的三条边．
正确答案
证明：（1）充分性：如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，
则a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以（a-b）=0，（b-c）=0，（c-a）=0．
即a=b=c．
所以△ABC是等边三角形．
（2）必要性：如果△ABC是等边三角形，则a=b=c．
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca
综上可知：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ca．
解析
证明：（1）充分性：如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，
则a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以（a-b）=0，（b-c）=0，（c-a）=0．
即a=b=c．
所以△ABC是等边三角形．
（2）必要性：如果△ABC是等边三角形，则a=b=c．
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca
综上可知：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ca．
△ABC的三边长分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC是（ ）
正确答案
解析
解：因为bcosC+ccosB=asinA，由正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=sin2A，
即sin（B+C）=sinA=sin2A，
∵sinA≠0，∴sinA=1，
又A为三角形的内角，∴A=90°，
所以三角形是直角三角形．
故选A．
已知α、β满足0＜α＜
（1）求cos（α+
（2）求sin2β的值．
正确答案
解：（1）∵α、β满足0＜α＜
又∵cos（β-
∴
∴
∴
（2）∵
∴sin2β=
∵
∴
=
=
∴sin2β=
解析
解：（1）∵α、β满足0＜α＜
又∵cos（β-
∴
∴
∴
（2）∵
∴sin2β=
∵
∴
=
=
∴sin2β=
若sinαsinβ=1，则cos（α-β）的值为（ ）
正确答案
解析
解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=1．
故选B．
已知
正确答案
解：∵sinα=
又cosβ=-
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=（-
∴tan（α-β）=
解析
解：∵sinα=
又cosβ=-
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=（-
∴tan（α-β）=
扫码查看完整答案与解析