同角三角函数间的基本关系及应用
共7627题

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同角三角函数间的基本关系及应用
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=msinx+cosx

（I）若m=2，f（α）=，求 cosα；

（II）若f（x）最小值为-，求f（x）在[-π，]上的值域．

正确答案

解：（I）若m=2，f（α）=，则由函数f（x）=msinx+cosx，可得 2sinα+cosα=．

再由 cos2α+sin2α=1，求得cosα=-，或cosα=1．

（II）若f（x）=msinx+cosx的最小值为-=-，∴m=1，或 m=-3（舍去）．

∴f（x）=msinx+cosx=sinx+cosx=sin（x+）．

∵x∈[-π，]，可得 x+∈[-，]．

又sin（）=sin（+）=sincos+cossin=，

故sin（x+）∈[-1，]，故函数f（x）的值域为[-，]．

解析

解：（I）若m=2，f（α）=，则由函数f（x）=msinx+cosx，可得 2sinα+cosα=．

再由 cos2α+sin2α=1，求得cosα=-，或cosα=1．

（II）若f（x）=msinx+cosx的最小值为-=-，∴m=1，或 m=-3（舍去）．

∴f（x）=msinx+cosx=sinx+cosx=sin（x+）．

∵x∈[-π，]，可得 x+∈[-，]．

又sin（）=sin（+）=sincos+cossin=，

故sin（x+）∈[-1，]，故函数f（x）的值域为[-，]．

题型：简答题

简答题

已知函数f（θ）=asinθ+bcosθ（a、b∈R），且f（）=1，求f（θ）的最小值的变化范围．

正确答案

解：∵f（）=1，

∴asin+bcos=1，

即，即b=2-a，

则f（θ）=asinθ+bcosθ=asinθ+（2-a）cosθ=sin（θ+φ）

=2sin（θ+φ），（tanφ=），

∴-2≤f（θ）≤2，

即函数f（θ）的最小值为-2=-2，

故f（θ）的最小值的变化范围为（-∞，-1]．

解析

解：∵f（）=1，

∴asin+bcos=1，

即，即b=2-a，

则f（θ）=asinθ+bcosθ=asinθ+（2-a）cosθ=sin（θ+φ）

=2sin（θ+φ），（tanφ=），

∴-2≤f（θ）≤2，

即函数f（θ）的最小值为-2=-2，

故f（θ）的最小值的变化范围为（-∞，-1]．

题型：简答题

简答题

在锐角△ABC中，三角形内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设=（cosA，sinA），=（cosA，-sinA），a=，且=-

（1）若b=3，求△ABC的面积；

（2）求b+c的最大值．

正确答案

解：（1）由题意可得=cos2A-sin2A=cos2A=，

∴cos2A=-，∵A为锐角，则2A=120°，解得A=60°，

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，

代入数据可得7=9+c2-6c×，

解得c=1或c=2．

当c=1时cosB=＜0，

不满足三角形为锐角三角形，故c=2

∴△ABC的面积S=bcsinA=；

（2）由（1）和余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，

∴7=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，

∴（b+c）2-7=3bc≤3，

解得b+c≤2，当且仅当b=c=时取等号，

∴b+c的最大值为2

解析

解：（1）由题意可得=cos2A-sin2A=cos2A=，

∴cos2A=-，∵A为锐角，则2A=120°，解得A=60°，

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，

代入数据可得7=9+c2-6c×，

解得c=1或c=2．

当c=1时cosB=＜0，

不满足三角形为锐角三角形，故c=2

∴△ABC的面积S=bcsinA=；

（2）由（1）和余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，

∴7=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，

∴（b+c）2-7=3bc≤3，

解得b+c≤2，当且仅当b=c=时取等号，

∴b+c的最大值为2

题型：填空题

填空题

在△ABC中，若cos（A-B）=2cosAcosB，则△ABC的形状是______．

正确答案

直角三角形

解析

解：△ABC中，∵cos（A-B）=2cosAcosB，∴cosAcosB+sinAsinB=2cosAcosB，

化简可得 cos（A+B）=0．

再根据 0＜A+B＜π，可得 A+B=，∴C=，

则△ABC为直角三角形，

故答案为：直角三角形．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=a（2cos2+sinx）+b．

（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；

（2）当a＞0，且x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

正确答案

解：（1）当a=1时，f（x）=2cos2+sinx+b=1+cosx+sinx+b=sin（x+）+b+1．

由2kπ-≤x+≤2kπ+（k∈Z）得：2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），

所以f（x）的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）；

（2）因为，f（x）=a（2cos2+sinx）+b=a（1+cosx+sinx）+b=asin（x+）+b+a，

x∈[0，π]⇒x+∈[，]⇒sin（x+）∈[-，1]⇒asin（x+）∈[-a，a]，

所以，f（x）∈[b，（）a+b]，又f（x）的值域是[3，4]，

所以b=3，a==．

解析

解：（1）当a=1时，f（x）=2cos2+sinx+b=1+cosx+sinx+b=sin（x+）+b+1．

由2kπ-≤x+≤2kπ+（k∈Z）得：2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），

所以f（x）的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）；

（2）因为，f（x）=a（2cos2+sinx）+b=a（1+cosx+sinx）+b=asin（x+）+b+a，

x∈[0，π]⇒x+∈[，]⇒sin（x+）∈[-，1]⇒asin（x+）∈[-a，a]，

所以，f（x）∈[b，（）a+b]，又f（x）的值域是[3，4]，

所以b=3，a==．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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