同角三角函数间的基本关系及应用
共7627题

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同角三角函数间的基本关系及应用
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sinx-acosx（x∈R）的图象经过点（，1）．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间．

正确答案

解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过点，

∴，即-a=1，解得a=1．

∴==．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=．

∴函数f（x）的最小正周期为T=2π．

由，k∈Z．

可得，k∈Z．

∴函数f（x）的单调递减区间为：[]，k∈Z

解析

解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过点，

∴，即-a=1，解得a=1．

∴==．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=．

∴函数f（x）的最小正周期为T=2π．

由，k∈Z．

可得，k∈Z．

∴函数f（x）的单调递减区间为：[]，k∈Z

题型：填空题

填空题

化简sin20°cos40°+cos20°sin40°=______．

正确答案

解析

解：sin20°cos40°+cos20°sin40°

=sin（20°+40°）

=sin60°=，

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知两个不共线的向量，它们的夹角为θ，且，，若与垂直，则=______．

正确答案

解析

解：∵，，与垂直，

∴（）•（）=0，即-3-4=0，

可得9-3-4×1=0，解之得=．

∵的夹角为θ，∴cosθ==，

又∵θ∈（0，π），∴sinθ==．

因此，===．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知函数f （x）=3sin2ax+sin ax cos ax+2cos2ax的周期为π，其中a＞0．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）当上时求f （x）的单调递增区间及值域．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得f（x）=（1-cos 2ax）+sin 2ax+（1+cos 2ax）=sin 2ax-cos 2ax+

=sin（2ax-）+．

因为f （x）的周期为π，a＞0，所以a=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-）+

令2x-∈[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），可得x∈[kπ-，kπ+]（k∈Z），

∵，∴当上时，f （x）的单调递增区间为；

∵，∴2x-∈[-，]

∴sin（2x-）∈[-，1]

∴f（x）的值域为[-，]．

解析

解：（Ⅰ）由题意得f（x）=（1-cos 2ax）+sin 2ax+（1+cos 2ax）=sin 2ax-cos 2ax+

=sin（2ax-）+．

因为f （x）的周期为π，a＞0，所以a=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-）+

令2x-∈[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），可得x∈[kπ-，kπ+]（k∈Z），

∵，∴当上时，f （x）的单调递增区间为；

∵，∴2x-∈[-，]

∴sin（2x-）∈[-，1]

∴f（x）的值域为[-，]．

题型：简答题

简答题

已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（-，）．

（1）求sin 2α-tan α的值；

（2）若函数f（x）=cos（x-α）cos α-sin（x-α）sin α，求函数y=f（-2x）-2f2（x）在区间[0，]上的值域．

正确答案

解：（1）由题意可知，sinα=，cosα=-，tanα=-，

∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-+=-．

（2）∵f（x）=cos（x-α）cos α-sin（x-α）sin α=cosx，x∈R，

∴y=cos（-2x）-2cos2x=sin 2x-1-cos 2x=2sin（2x-）-1．

∵0≤x≤，∴0≤2x≤，∴-≤2x-≤，

∴-≤sin（2x-）≤1，∴-2≤2sin（2x-）-1≤1，

故函数y=f（-2x）-2f2（x）在区间[0，]上的值域是[-2，1]．

解析

解：（1）由题意可知，sinα=，cosα=-，tanα=-，

∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-+=-．

（2）∵f（x）=cos（x-α）cos α-sin（x-α）sin α=cosx，x∈R，

∴y=cos（-2x）-2cos2x=sin 2x-1-cos 2x=2sin（2x-）-1．

∵0≤x≤，∴0≤2x≤，∴-≤2x-≤，

∴-≤sin（2x-）≤1，∴-2≤2sin（2x-）-1≤1，

故函数y=f（-2x）-2f2（x）在区间[0，]上的值域是[-2，1]．

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