同角三角函数间的基本关系及应用
共7627题

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同角三角函数间的基本关系及应用
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题型：简答题

简答题

已知函数y=cos2x+sinxcosx．

（1）求该函数的最小正周期和最大值；

（2）当该函数取得最大值时，求自变量x的集合．

正确答案

解：（1）化简可得y=cos2x+sinxcosx

=•+sin2x

=+（cos2x+sin2x）

=+sin（2x+）

∴函数的最小正周期T==π，最大值为+=；

（2）由（1）知，当2x+=2k即x=kπ+时，该函数取得最大值，

故自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}

解析

解：（1）化简可得y=cos2x+sinxcosx

=•+sin2x

=+（cos2x+sin2x）

=+sin（2x+）

∴函数的最小正周期T==π，最大值为+=；

（2）由（1）知，当2x+=2k即x=kπ+时，该函数取得最大值，

故自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}

题型：简答题

简答题

已知．

（I）求函数f（x）的最小正周期；

（II）求函数f（x）的单调递增区间．

正确答案

解：（I）函数f（x）=sin22x-sin2xcos2x

=-sin4x=-sin（4x+），

∵ω=4，∴T==；

（II）∵2kπ+＜4x+＜2kπ+，即+＜x＜+，k∈Z时，

正弦函数sin（4x+）单调递减，此时f（x）单调递增，

则f（x）的单调递增区间为（+，+），k∈Z．

解析

解：（I）函数f（x）=sin22x-sin2xcos2x

=-sin4x=-sin（4x+），

∵ω=4，∴T==；

（II）∵2kπ+＜4x+＜2kπ+，即+＜x＜+，k∈Z时，

正弦函数sin（4x+）单调递减，此时f（x）单调递增，

则f（x）的单调递增区间为（+，+），k∈Z．

题型：填空题

填空题

已知：角A，B，C为锐角，A＜B＜C，A+B+C=π，且tanA，tanB，tanC为整数，那么tanA=______，tanB=______，tanC=______．

正确答案

解析

解：角A，B，C为锐角，A＜B＜C，A+B+C=π，且tanA，tanB，tanC为整数，∴tanA＜tanB＜tanC，

∴tanA=1=-tan（B+C）=-，∴tanB+tanC=tanBtanC-1，

故tanB=2，tanC=3，

故答案为：1；2；3．

题型：填空题

填空题

若，则=______；=______．

正确答案

-m

解析

解：∵（-α）+（+α）=，（-α）+（+α）=π，cos（-α）=m；

∴sin（+α）=sin[-（-α）]=cos（-α）=m；

cos（+α）=cos[π-（-α）]=-cos（-α）=-m．

故答案为：m，-m．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-2cos2x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2x-2cos2x

=1+sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x=sin（2x-）

故函数f（x）的最小正周期为T==π，

由2kπ-≤2x-≤2kπ+，可得kπ-≤x≤kπ+，

故函数的单调递增区间为：[kπ-，kπ+]，（k∈Z）；

（Ⅱ）∵x∈，∴2x∈，∴2x-∈，

故sin（2x-）∈，所以sin（2x-）∈，

故函数f（x）在上的值域为：

解析

解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2x-2cos2x

=1+sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x=sin（2x-）

故函数f（x）的最小正周期为T==π，

由2kπ-≤2x-≤2kπ+，可得kπ-≤x≤kπ+，

故函数的单调递增区间为：[kπ-，kπ+]，（k∈Z）；

（Ⅱ）∵x∈，∴2x∈，∴2x-∈，

故sin（2x-）∈，所以sin（2x-）∈，

故函数f（x）在上的值域为：

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