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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为(),点在线段的垂直平分线上,且,求的值

正确答案

见解析。(1)椭圆的方程为

解析

(1)解:由,得,再由,得

由题意可知,

解方程组 得 a=2,b=1

所以椭圆的方程为

(2)解:由(1)可知A(-2,0)。设B点的坐标为(x1,,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),

于是A,B两点的坐标满足方程组

由方程组消去Y并整理,得

设线段AB是中点为M,则M的坐标为

以下分两种情况:

(1)当k=0时,点B的坐标为(2,0)。线段AB的垂直平分线为y轴,于是

(2)当K时,线段AB的垂直平分线方程为

令x=0,解得

整理得

综上

知识点

椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

设椭圆C:的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60o,.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)如果|AB|=,求椭圆C的方程。

正确答案

(1).

解析

,由题意知<0,>0.

(1)直线l的方程为  ,其中.

联立

解得

因为,所以.

得离心率 .                    

(2)因为,所以.

.所以,得a=3,.

椭圆C的方程为.

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

设椭圆,抛物线

(1)若经过的两个焦点,求的离心率;

(2)设A(0,b),,又M、N为不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为,且△QMN的重心在上,求椭圆和抛物线的方程。

正确答案

(1)

解析

(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得:,由

(2)由题设可知M、N关于y轴对称,设,由的垂心为B,有

由点在抛物线上,,解得:

,得重心坐标.

由重心在抛物线上得:,又因为M、N在椭圆上得:,椭圆方程为,抛物线方程为

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质抛物线的标准方程和几何性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线与椭圆的交点分别为.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程;

(2)设直线的斜率分别为,证明

(3)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)设椭圆的半焦距为,由题意知, ,又

所以 

,因此

故椭圆的标准方程为

由题意设等轴双曲线的方程因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以

因此  双曲线的标准方程为

(2)设

则 

因为  点在双曲线上,所以

因此 

即 

(3)由于的方程为,将其带入椭圆方程得

由根与系数的关系得

所以 

同理可得

则 

又 

所以 

因此  存在,使恒成立。

知识点

椭圆的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:填空题
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填空题 · 5       分

现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是()。

正确答案

解析

∵以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,

∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是

知识点

椭圆的定义及标准方程
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知向量a,b满足,则

A0

B

C4

D8

正确答案

B

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,点F1(﹣c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:(a>b>0)的左右焦点,经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q。

(1)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程;

(2)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点。

正确答案

见解析

解析

(1)解:将点P(﹣c,y1)(y1>0)代入

∴P

∵点Q的坐标是(4,4),PF1⊥QF2

∴a=2,c=1,b=

∴椭圆C的方程为

(2)证明:设Q,∵PF1⊥QF2

∴y2=2a

∵P,∴

,∴

∴y′=

∴当x=﹣c时,y′==

∴直线PQ与椭圆C只有一个交点。

知识点

椭圆的定义及标准方程
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到点的距离的最大值为

(1)求椭圆的方程

(2) 在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由。

正确答案

(1)   的方程为.

(2) 存在,面积最大为,点的坐标为.

解析

(1)依题意,所以,

是椭圆上任意一点,则,所以,

所以

时,有最大值,可得,所以

故椭圆的方程为.

(2)[韦达定理法]因为在椭圆上,所以,,设,

,得

所以,可得

由韦达定理得,

所以

所以

设原点到直线的距离为,则

所以

,由,得,所以,

,

所以,当时,面积最大,且最大为,

此时,点的坐标为.

[垂径定理切入]因为点在椭圆上运动,所以,,

圆心到直线的距离,

直线被圆所截的弦长为

所以,接下来做法同上。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的探索性问题
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知椭圆,椭圆的长轴为短轴,且与有相同的离心率。

(1)求椭圆的方程;

(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆上,,求直线的方程。

正确答案

见解析

解析

(1)由已知可设椭圆的方程为

其离心率为,故,则

故椭圆的方程为

(2)解法一  两点的坐标分别为

及(1)知,三点共线且点不在轴上,

因此可设直线的方程为.

代入中,得,所以

代入中,得,所以

又由,得,即

解得  ,故直线的方程为

解法二   两点的坐标分别为

及(1)知,三点共线且点不在轴上,

因此可设直线的方程为.

代入中,得,所以

又由,得

代入中,得,即

解得  ,故直线的方程为

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,已知都在椭圆上,其中为椭圆的离心率。

(1)求椭圆的方程;

(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,交于点P。

(i)若,求直线的斜率;

(ii)求证:是定值。

正确答案

见解析

解析

(1)根据椭圆的性质和已知都在椭圆上列式求解。

(2)根据已知条件,用待定系数法求解。

知识点

椭圆的定义及标准方程
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