- 椭圆及其性质
- 共751题
已知直线,
,直线
被圆截得的弦长与椭圆
的短轴长相等,椭圆的离心率
(1) 求椭圆的方程;
(2) 过点(
,
)的动直线
交椭圆
于
、
两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点
,使得无论
如何转动,以
为直径的圆恒过定点
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由。
正确答案
(1)(2)在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件
解析
解析: (1)则由题设可知, 2分
又
3分
所以椭圆C的方程是. ……4分
(2)解法一:假设存在点T(u, v). 若直线l的斜率存在,设其方程为,
将它代入椭圆方程,并整理,得, ……5分
设点A、B的坐标分别为,则
因为及
所以
……8 分
当且仅当恒成立时,以AB为直径的圆恒过定点T, ……9分
所以解得
此时以AB为直径的圆恒过定点T(0,1). ……10分
当直线l的斜率不存在,l与y轴重合,以AB为直径的圆为也过点T(0,1)。
综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1),满足条件. ……12分
解法二:若直线l与y轴重合,则以AB为直径的圆是
若直线l垂直于y轴,则以AB为直径的圆是 ……6分
由解得
.
由此可知所求点T如果存在,只能是(0,1). ……7分
事实上点T(0,1)就是所求的点. 证明如下:
当直线l的斜率不存在,即直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆为,过点T(0,1);
当直线l的斜率存在,设直线方程为,代入椭圆方程,并整理,得
8分
设点A、B的坐标为,则
因为,
所以,即以AB为直径的圆恒过定点T(0,1). ……11分
综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件. ……12分
知识点
已知椭圆过点
,且离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在菱形,同时满足下列三个条件:
①点在直线
上;
②点,
,
在椭圆
上;
③直线的斜率等于
.
如果存在,求出点坐标;如果不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由题意得: ………………3分
解得:
所以 椭圆的方程为
. ………………4分
(2)不存在满足题意的菱形,理由如下: ………………5分
假设存在满足题意的菱形.
设直线的方程为
,
,
,线段
的中点
,点
. ………………6分
由得
. ………………8分
由 ,解得
. ………………9分
因为 ,
所以 . ………………11分
因为 四边形为菱形,
所以 是
的中点。
所以 点的纵坐标
. ………………12分
因为 点在椭圆
上,
所以 .这与
矛盾.
………………13分
所以 不存在满足题意的菱形.
知识点
已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线上的一点,若
,且
的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是 .
正确答案
5
解析
设
,
,则
,又
为等差数列,所以
,整理得
,代入
整理得,
,解得
,所以双曲线的离心率为
。
知识点
已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1、F2,短轴上端点为B,△BF1F2为等边三角形。
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设过点F2的直线交椭圆C于P、Q两点,若△F1 PQ面积的最大值为6,求椭圆C的方程。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题得,即
,∴
(2)设,
,直线
方程:
,联立
得
∴ ,
令,
,其中等号成立时
,
∴,
知识点
设椭圆的左、右焦点分别为
,上顶点为
,在
轴负半轴上有一点
,满足
,且
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)D是过三点的圆上的点,D到直线
的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆
的方程;
(3)在(2)的条件下,过右焦点作斜率为
的直线
与椭圆
交于
两点,在
轴上是否存在点
使得以
为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出
的取值范围,如果不存在,说明理由.
正确答案
(1)(2)
(3)存在满足题意的点P且
的取值范围是
解析
解析:(1)设B(x0,0),由(c,0),A(0,b),
知
,
由于 即
为
中点。
故
,
故椭圆的离心率 ------------------4分
(2)由(1)知得
于是
(
,0), B
,
△ABF的外接圆圆心为(,0),半径r=
|FB|=
,
D到直线的最大距离等于
,所以圆心到直线的距离为
,
所以,解得
=2,∴c =1,b=
,
所求椭圆方程为. ------------------8分
(3)由(2)知,
:
代入得
设,
则,
------------------9分
由于菱形对角线垂直,则
故
则
------------------10分
由已知条件知且
故存在满足题意的点P且的取值范围是
。 ------------------12分
知识点
设A、P是椭圆两点,点A关于x轴的对称点为B(异于点P),若直线AP、BP分别交x轴于点M、N,则
正确答案
解析
不妨设点P是椭圆的右顶点,即P,因为A,B关于x轴对称,所以直线AP、BP与x轴的交点都是点P,即M,N,P重合,
·
知识点
已知椭圆和椭圆
的离心率相同,且点
(,1)在椭圆C1上。
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设P为椭圆C2上一点,过点P作直线交椭圆C1于A、C两点,且P恰为弦AC的中点。
求证:无论点P怎样变化,△AOC的面积为常数,并求出此常数.
正确答案
见解析
解析
(1)由题知,且
即
,
椭圆
的方程为
;
(2)当直线的斜率不存在时,必有
,此时
,
当直线的斜率存在时,设其斜率为
、点
,则
与椭圆联立,得
,设
,
则 即
又
综上,无论怎样变化,
的面积为常数
。
知识点
已知A(﹣2,0),B(2,0)为椭圆C的左、右顶点,F为其右焦点,P是椭圆C上异于A,B的动点,且△APB面积的最大值为。
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D,当直线AP绕点A转动时,试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系,并加以证明。
正确答案
见解析
解析
(1)由题意可设椭圆C的方程为,F(c,0)。
由题意知
解得,c=1。
故椭圆C的方程为
,离心率为
。
(2)以BD为直径的圆与直线PF相切。
证明如下:由题意可设直线AP的方程为y=k(x+2)(k≠0)。
则点D坐标为(2,4k),BD中点E的坐标为(2,2k)。
由得(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0。
设点P的坐标为(x0,y0),则。
所以,
。
因为点F坐标为(1,0),
当时,点P的坐标为
,点D的坐标为(2,±2)。
直线PF⊥x轴,此时以BD为直径的圆(x﹣2)2+(y±1)2=1与直线PF相切。
当时,则直线PF的斜率
。
所以直线PF的方程为。
点E到直线PF的距离=
。
又因为|BD|=4|k|,所以。
故以BD为直径的圆与直线PF相切。
综上得,当直线AP绕点A转动时,以BD为直径的圆与直线PF相切。
知识点
已知椭圆:
的离心率为
,右顶点
是抛物线
的焦点,直线
:
与椭圆
相交于
,
两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)如果,点
关于直线
的对称点
在
轴上,求
的值。
正确答案
见解析
解析
(1)抛物线,
所以焦点坐标为,即
,
所以。
又因为,所以
。
所以,
所以椭圆的方程为
。 ……………………4分
(2)设,
,因为
,
,
所以,
,
所以,
所以。
由,得
(判别式
),
得,
,
即。
设, 则
中点坐标为
,
因为,
关于直线
对称,
所以的中点在直线
上,
所以,解得
,即
。
由于,
关于直线
对称,所以
,
所在直线与直线
垂直,
所以 ,解得
。 ……………………14分
知识点
设抛物线的准线与
轴交于点
,焦点为
;以
为焦点,离心率为
的椭圆记作
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线经过椭圆
的右焦点
,与抛物线
交于
两点,
与椭圆交于
两点。当以
为直径的圆经过
时,求
长。
正确答案
见解析
解析
解:(1)椭圆方程
(2)当直线L与x轴垂直时,B1(1,),B2(1,-
),又F1(-1,0),
此时,所以以B1B2为直径的圆不经过F1。不满足条件
当直线L不与x轴垂直时,设L:y=k(x-1)
由
因为焦点在椭圆内部,所以恒有两个交点。
设B1(x1,y1),B2(x2,y2),则
因为以B1B2为直径的圆经过F1,所以,又F1(-1,0)
所以(-1-x1)(-1-x2)+y1y2=0,即(1+k2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0
所以解得
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0
因为直线L与抛物线有两个交点,所以
设A1(x3,y3) ,A2(x4,y4),则
所以
知识点
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