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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知直线,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率

(1) 求椭圆的方程;

(2) 过点)的动直线交椭圆两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过定点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。

正确答案

(1)(2)在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件

解析

解析: (1)则由题设可知,    2分

            3分

所以椭圆C的方程是.   ……4分

(2)解法一:假设存在点T(u, v). 若直线l的斜率存在,设其方程为

将它代入椭圆方程,并整理,得,         ……5分

设点A、B的坐标分别为,则 

因为

所以

                            ……8 分

当且仅当恒成立时,以AB为直径的圆恒过定点T,      ……9分

所以解得

此时以AB为直径的圆恒过定点T(0,1).               ……10分

当直线l的斜率不存在,l与y轴重合,以AB为直径的圆为也过点T(0,1)。

综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1),满足条件.  ……12分

解法二:若直线l与y轴重合,则以AB为直径的圆是

若直线l垂直于y轴,则以AB为直径的圆是    ……6分

解得.

由此可知所求点T如果存在,只能是(0,1).          ……7分

事实上点T(0,1)就是所求的点.     证明如下:

当直线l的斜率不存在,即直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆为,过点T(0,1);

当直线l的斜率存在,设直线方程为,代入椭圆方程,并整理,得8分

设点A、B的坐标为,则

因为

所以,即以AB为直径的圆恒过定点T(0,1).          ……11分

综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.      ……12分

知识点

椭圆的定义及标准方程
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆过点,且离心率.

(1)求椭圆的方程;

(2)是否存在菱形,同时满足下列三个条件:

①点在直线上;

②点在椭圆上;

③直线的斜率等于.

如果存在,求出点坐标;如果不存在,说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)由题意得:                                 ………………3分

解得:

所以 椭圆的方程为.                        ………………4分

(2)不存在满足题意的菱形,理由如下:                 ………………5分

假设存在满足题意的菱形.

设直线的方程为,线段的中点,点.                                                         ………………6分

.                      ………………8分

 ,解得.                ………………9分

因为

所以 .                                      ………………11分

因为 四边形为菱形,

所以 的中点。

所以 点的纵坐标.                  ………………12分

因为 点在椭圆上,

所以 .这与矛盾.                               ………………13分

所以 不存在满足题意的菱形.

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线上的一点,若,且的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是        .

正确答案

5

解析

,则,又为等差数列,所以,整理得,代入整理得,,解得,所以双曲线的离心率为

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1、F2,短轴上端点为B,△BF1F2为等边三角形。

(1)求椭圆C的离心率;

(2)设过点F2的直线交椭圆C于P、Q两点,若△F1 PQ面积的最大值为6,求椭圆C的方程。

正确答案

见解析。

解析

(1)由题得,即,∴ 

(2)设,直线方程:,联立

 

,其中等号成立时

   

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,在轴负半轴上有一点,满足,且.

(1)求椭圆的离心率;

(2)D是过三点的圆上的点,D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆的方程;

(3)在(2)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出的取值范围,如果不存在,说明理由.

正确答案

(1)(2)(3)存在满足题意的点P且的取值范围是

解析

解析:(1)设B(x0,0),由(c,0),A(0,b),

由于 即中点。

故椭圆的离心率                                    ------------------4分

(2)由(1)知于是,0), B

△ABF的外接圆圆心为(,0),半径r=|FB|=,

D到直线的最大距离等于,所以圆心到直线的距离为

所以,解得=2,∴c =1,b=

所求椭圆方程为.                         ------------------8分

(3)由(2)知

           代入得 

     ------------------9分

由于菱形对角线垂直,则

               ------------------10分

由已知条件知

     

故存在满足题意的点P且的取值范围是。        ------------------12分

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设A、P是椭圆两点,点A关于x轴的对称点为B(异于点P),若直线AP、BP分别交x轴于点M、N,则

A0

B1

C    

D2

正确答案

D

解析

不妨设点P是椭圆的右顶点,即P,因为A,B关于x轴对称,所以直线AP、BP与x轴的交点都是点P,即M,N,P重合,

 ·

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知椭圆和椭圆的离心率相同,且点

,1)在椭圆C1上。

(1)求椭圆C1的方程;

(2)设P为椭圆C2上一点,过点P作直线交椭圆C1于A、C两点,且P恰为弦AC的中点。

求证:无论点P怎样变化,△AOC的面积为常数,并求出此常数.

正确答案

见解析

解析

(1)由题知,  即

椭圆的方程为

(2)当直线的斜率不存在时,必有,此时

当直线的斜率存在时,设其斜率为、点,则

与椭圆联立,得,设

   即

 

综上,无论怎样变化,的面积为常数

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知A(﹣2,0),B(2,0)为椭圆C的左、右顶点,F为其右焦点,P是椭圆C上异于A,B的动点,且△APB面积的最大值为

(1)求椭圆C的方程及离心率;

(2)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D,当直线AP绕点A转动时,试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系,并加以证明。

正确答案

见解析

解析

(1)由题意可设椭圆C的方程为,F(c,0)。

由题意知

解得,c=1。

故椭圆C的方程为,离心率为

(2)以BD为直径的圆与直线PF相切。

证明如下:由题意可设直线AP的方程为y=k(x+2)(k≠0)。

则点D坐标为(2,4k),BD中点E的坐标为(2,2k)。

得(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0。

设点P的坐标为(x0,y0),则

所以

因为点F坐标为(1,0),

时,点P的坐标为,点D的坐标为(2,±2)。

直线PF⊥x轴,此时以BD为直径的圆(x﹣2)2+(y±1)2=1与直线PF相切。

时,则直线PF的斜率

所以直线PF的方程为

点E到直线PF的距离=

又因为|BD|=4|k|,所以

故以BD为直径的圆与直线PF相切。

综上得,当直线AP绕点A转动时,以BD为直径的圆与直线PF相切。

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的离心率为,右顶点是抛物线的焦点,直线与椭圆相交于两点。

(1)求椭圆的方程;

(2)如果,点关于直线的对称点轴上,求的值。

正确答案

见解析

解析

(1)抛物线

所以焦点坐标为,即

所以

又因为,所以

所以

所以椭圆的方程为。                            ……………………4分

(2)设,因为

所以

所以

所以

,得(判别式),

, 则中点坐标为

因为关于直线对称,

所以的中点在直线上,

所以,解得,即

由于关于直线对称,所以所在直线与直线垂直,

所以 ,解得。               ……………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

设抛物线的准线与轴交于点,焦点为;以为焦点,离心率为的椭圆记作

(1)求椭圆的标准方程;

(2)直线经过椭圆的右焦点,与抛物线交于两点,

与椭圆交于两点。当以为直径的圆经过时,求长。

正确答案

见解析

解析

解:(1)椭圆方程              

(2)当直线L与x轴垂直时,B1(1,),B2(1,-),又F1(-1,0),

此时,所以以B1B2为直径的圆不经过F1。不满足条件

当直线L不与x轴垂直时,设L:y=k(x-1)

因为焦点在椭圆内部,所以恒有两个交点。

设B1(x1,y1),B2(x2,y2),则 

因为以B1B2为直径的圆经过F1,所以,又F1(-1,0)

所以(-1-x1)(-1-x2)+y1y2=0,即(1+k2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0

所以解得         

得k2x2-(2k2+4)x+k2=0

因为直线L与抛物线有两个交点,所以

设A1(x3,y3)  ,A2(x4,y4),则

所以     

知识点

椭圆的定义及标准方程
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