椭圆及其性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

13．设是椭圆的左焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，则的最大值为（）

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

2．已知向量，，且//，则等于（）

A

B2

C

D

正确答案

A

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知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

19．已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求的标准方程；

（2）过曲线的焦点的直线与曲线交于两点，与轴交于点，

若,,求证：为定值。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程抛物线的定义及应用圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．已知抛物线，椭圆经过点，它们在轴上有共同的焦点，椭圆对称轴为坐标轴．

（1）求椭圆的标准方程

（2）设为正实数，当点在椭圆上运动时，求的最小值．

正确答案

（1）焦点，∴ ，，

∴ 椭圆的方程为

（2）设

∴

当时，

当时，，

∴

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知识点

椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

19．已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A、B。

（1）求椭圆的方程；

（2）求的值（O点为坐标原点）；

（3）若坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值。

正确答案

（1）设椭圆的半焦距为c，

依题意

解得

由

所求椭圆方程为

（2）

设，

其坐标满足方程

消去并整理得

则（*）

故

经检验满足式（*）式

（3）由已知，可得

将代入椭圆方程，整理得

当且仅当，即时等号成立，

经检验，满足（*）式当时，综上可知

当|AB最大时，的面积最大值

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知识点

椭圆的定义及标准方程

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．椭圆的左右焦点分别为，，过作与轴不重合的直线交椭圆于两点．

（1）若为正三角形，求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的离心率满足，为坐标原点，求证：．

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．如图，已知椭圆的左右焦点分别为．，椭圆的下顶点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆。

（1）若圆过原点，求圆的方程；

（2）当圆的面积为时，求所在直线的方程；

（3）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．

正确答案

（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的端轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，

圆的方程为或。

解法二：设，因为圆过原点，所以，

所以，所以，，点

于是点的坐标为或，

圆的方程为或。

（2）设圆的半径为，由题意，，，所以

设，则。

联立，解得（舍去），

所以点或．

所以或，

所以直线的方程为或

（3）以原点为圆心，为半径的定圆始终与圆相内切。定圆的方程为

探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，

因为，

所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切。

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椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知点在椭圆上，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆经过原点的弦，且，，试判断是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

正确答案

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椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．

（1）求m的值与椭圆E的方程；

（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

正确答案

（1）点A代入圆C方程，得．∵m＜3，∴m＝1

圆C：．设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为：，

即．∵直线PF1与圆C相切，∴．解得．

当k＝时，直线PF1与x轴的交点F1的横坐标为，不合题意，舍去．

当k＝时，直线PF1与x轴的交点F1的横坐标为－4，∴c＝4．，

2a＝|AF1|＋|AF2|＝，，a2＝18，b2＝2．

椭圆E的方程为： 2

（2），设Q（x，y），，．

∵，即，而，∴－18≤6xy≤18

所以，的取值范围是[0，36]

的取值范围是[－6，6]．∴的取值范围是[－12，0]

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平面向量数量积的运算椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）求的取值范围；

（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。

正确答案

（1）解：由题意知，

∴，即
　　又，

∴
　　故椭圆的方程为

（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为
　　由得：
　　由

得：
　　设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则　　①
　　∴

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知识点

直线与圆的位置关系椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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