椭圆及其性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知椭圆离心率为，左、右焦点分别为, 左顶点为A，.

26.求椭圆的方程；

27.若直线经过与椭圆交于两点，求取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅰ) 设

考查方向

本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积，考查运算能力，解题时应注意分类讨论，同时正确用坐标表示向量，是中档题

解题思路

由椭圆的离心率得到a，c的关系，再由可得联立方程组可求出a,c的值，从而可得椭圆的方程.

易错点

注意椭圆中a,b,c三者的关系，和双曲线的区别.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当直线l斜率存在时：设，直线l为:，代入

得：，由题意

所以

因为，所以,

当直线l斜率不存在时：

所以 .

综上：

解题思路

当直线l斜率不存在时，用坐标分别表示出,直接求得；直线斜率存在时，设直线MN的方程为，代入椭圆方程

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知椭圆离心率为，左、右焦点分别为, 左顶点为A，.

26.求椭圆的方程；

27.若直线经过与椭圆交于两点，求取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅰ) 设

考查方向

本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积，考查运算能力，解题时应注意分类讨论，同时正确用坐标表示向量，是中档题

解题思路

由椭圆的离心率得到a，c的关系，再由可得联立方程组可求出a,c的值，从而可得椭圆的方程.

易错点

注意椭圆中a,b,c三者的关系，和双曲线的区别.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当直线l斜率存在时：设，直线l为:，代入

得：，由题意

所以

因为，所以,

当直线l斜率不存在时：

所以 .

综上：

解题思路

当直线l斜率不存在时，用坐标分别表示出,直接求得；直线斜率存在时，设直线MN的方程为，代入椭圆方程

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

18. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；

①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。

②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知，则 ,又可得 ,

所以椭圆C的标准方程为.

（2）①M N

②点（），点Q，

∵，，

∴==．

∵点P在椭圆C上， ∴，

∴==．

∵，

∴．

∴的取值范围是．

考查方向

本题考查了椭圆方程的求法，离心率，圆方程等知识的运用，定值的求法，斜率的表示方法等。

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

（1）根据离心率和几何特点，求出椭圆方程

（2）表示M，N进而得

（3）表示,进而得的取值范围．

易错点

点M，N表示不当

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

若椭圆的左右焦点分别为，线段被抛物线的焦点内分成了的两段.

24.求椭圆的离心率；

25.过点的直线交椭圆于不同两点，且，当的面积最大时，求直线和椭圆的方程.

（2）【答案】设直线，，

∵，∴，即①

由（1）知，,∴椭圆方程为

由，消去得，

∴②，③

由①②知，，

∵，

∴，

当且仅当，即时取等号，此时直线方程为或.

又当时，，

∴由，得，∴椭圆方程为.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）由题意知，，∴，.

解析

（1）由题意知，，∴，.

考查方向

本题考查椭圆与抛物线的应用问题，主要涉及到两者焦距、焦点问题

解题思路

由题意，可知,再根据椭圆中a,b,c的关系式，求出椭圆的离心率

易错点

线段的定比分点计算容易出错，离心率公式容易记错

教师点评

本题是椭圆焦距与抛物线焦点坐标的综合题，属于简单题，只要掌握线段定比分点的性质即可,在近几年中考到的频率较高，是解析几何中重要的一块

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线方程为或.

椭圆方程为.

解析

设直线，，

∵，∴，即①

由（1）知，,∴椭圆方程为

由，消去得，

∴②，③

由①②知，，

∵，

∴，

当且仅当，即时取等号，此时直线方程为或.

又当时，，

∴由，得，∴椭圆方程为.

考查方向

本题考查椭圆中三角形面积最大问题，主要涉及到直线与椭圆的焦点问题、向量在椭圆中的应用问题以及函数值域问题

解题思路

先设出直线方程，联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理，求出两根和积，再利用向量坐标运算，求出关系式，列出面积公式，利用均值不等式求出直线方程和椭圆方程

易错点

计算容易出错，不容易想到均值不等式

教师点评

本题是向量、曲线相交与均值不等式的综合应用题，是一道难度较大的题型，需要掌握直线的不同设法、设而不求法、向量运算与面积问题、均值不等式在最值问题上会经常使用，值得注意

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在平面直角坐标系中，过椭圆的一个焦点作一直线交椭圆于两点，线段长的最大值与最小值分别是.

23.求椭圆的方程；

24.与圆相切的直线与椭圆交于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）由题意知，解得

所求椭圆的方程为． …………………………………………（5分）

解析

由题意，得,得,从而椭圆方程为

考查方向

本题考查椭圆焦点弦知识，由焦点弦的公式可以知道最大值与最小值

解题思路

由焦点弦公式，可得,从而求出a,b的值

易错点

焦点弦的最大值与最小值容易弄错

教师点评

本题只需要记住焦点弦的公式就可以解决，在近几年中考到的频率较高，是解析几何中重要的一块

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）设，，

由直线与圆相切，

所以，①　　　 …………………………（6分）

联立，

所以，

， ………………………………………………（9分）

又，，

将点C代入椭圆方程并化简得，②　 …………………………（10分）

①代入②得，解得． …………………………（12分）

解析

（Ⅱ）设，，

由直线与圆相切，

所以，①　　　 …………………………（6分）

联立，

所以，

， ………………………………………………（9分）

又，，

将点C代入椭圆方程并化简得，②　 …………………………（10分）

①代入②得，解得

考查方向

本题考查圆与直线相切问题，向量在圆锥曲线上的应用，变量取值范围问题

解题思路

先由圆与直线相切，求出k，然后联立直线与椭圆方程，消去一个元，算出两根和积，再结合向量的性质，联立关系式，求出变量取值范围

易错点

容易算错斜率，以及变量的取值范围

教师点评

本题是圆锥曲线中的常规题，难度是中等，需要掌握切线问题、设而不求法、向量等知识，才能求出变量的取值范围，在近几年中考到的频率较高，是解析几何中重要的一块

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

正确答案

（1）由题意，得且，

解得，，则，

所以椭圆的标准方程为．

（2）当轴时，，又，不合题意．

当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，

将的方程代入椭圆方程，得，

则，的坐标为，且

．

若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．

从而，故直线的方程为，

则点的坐标为，从而．

因为，所以，解得．

此时直线方程为或．

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求曲线C的方程；

（2）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

正确答案

21．（1）设点，，依题意，

，且，

所以，且

即且

由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，

于是，故，代入，可得，

即所求的曲线的方程为

（2）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.

（2）当直线的斜率存在时，设直线，

由消去，可得.

因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，

所以，即. ①

又由可得；同理可得.

由原点到直线的距离为和，可得

. ②

将①代入②得，.

当时，；

当时，.

因，则，，所以，

当且仅当时取等号.

所以当时，的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．

（1）求椭圆的离心率；

（2）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．

正确答案

（1）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，

则原点O到直线的距离，

由，得，解得离心率.

（2）解法一：由（1）知，椭圆E的方程为. (1)

依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.

易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得

设则

由，得解得.

从而.

于是.

由，得，解得.

故椭圆E的方程为.

解法二：由（I）知，椭圆E的方程为. (2)

依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且.

设则，，

两式相减并结合得.

易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率

因此AB直线方程为，代入(2)得

所以，.

于是.

由，得，解得.

故椭圆E的方程为.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 4 分

16. 如图，两个椭圆、内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线

上的任意一点，给出下列三个判断：

（1）到、、、

四点的距离之和为定值

（2）曲线关于直线、均对称

（3）曲线所围区域面积必小于36

上述判断中正确命题的个数为（）

A0个

B1个

C2个

D3个

正确答案

C

解析

对于（1）若点P在椭圆上，P到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于（2）、关于直线、均对称，关于直线、均对称，故正确；对于（3）曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确。

考查方向

椭圆性质的应用。

解题思路

①若点P在椭圆上，P到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值②两个椭圆关于直线、均对称，关于直线、均对称③曲线C所围区域在边长为6的正方形内部。

易错点

分析不全面、不透彻

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题

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