椭圆及其性质_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程。

正确答案

（1）.

解析

设，由题意知＜0，＞0.

（1）直线l的方程为，其中.

联立得

解得

因为，所以.

即

得离心率 .

（2）因为，所以.

由得.所以，得a=3，.

椭圆C的方程为.

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

正确答案

(1) C的离心率为.

(2)

解析

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设椭圆，抛物线。

（1）若经过的两个焦点，求的离心率；

（2）设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。

正确答案

（1）

解析

（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由

。

(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有

。

由点在抛物线上，，解得：

故，得重心坐标.

由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为__________。

正确答案

解析

因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，

所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c.

又因为|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列，

所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，

所以离心率.

知识点

等比数列的性质及应用椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

椭圆的左、右焦点分别是,离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接,设∠的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点.设直线的斜率分别为，若≠0，试证明为定值，并求出这个定值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知的，且，解得

所以椭圆的标准方程为

（2）设，则,

在三角形中，由正弦定理得

同理，在三角形中，由正弦定理得

而且，所以

所以

知识点

椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8。

（1）求椭圆E的方程。

（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

（1）E的方程为。

（2）满足条件的点M存在，只能是M（1，0）

解析

（1）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8。

∴4a=8，∴a=2

∵e=，∴c=1

∴b2=a2﹣c2=3

∴椭圆E的方程为。

（2）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0

∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）

∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0

∴4k2﹣m2+3=0①

此时x0==，y0=，即P（，）

由得Q（4，4k+m）

取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）

取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）

故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下

∵

∴

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）

知识点

椭圆的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是。

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为____________

正确答案

解析

知识点

椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为。

（1）求椭圆的方程

（2）在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大？若存在,求出点的坐标及对应的的面积；若不存在,请说明理由。

正确答案

（1）的方程为.

（2）存在，面积最大为,点的坐标为或或或.

解析

（1）依题意,所以,

设是椭圆上任意一点,则,所以,

所以

当时,有最大值,可得,所以

故椭圆的方程为.

（2）[韦达定理法]因为在椭圆上,所以,,设,

由，得

所以,可得，

由韦达定理得,

所以

设原点到直线的距离为,则

所以

设,由,得,所以,

,

所以,当时,面积最大,且最大为,

此时，点的坐标为或或或.

[垂径定理切入]因为点在椭圆上运动，所以,,

圆心到直线的距离,

直线被圆所截的弦长为

所以,接下来做法同上。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的探索性问题

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