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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.

(1)求等差数列{an}的通项公式;

(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和。

正确答案

(1) an=-3n+5或an=3n-7 ;(2)

解析

(1)设等差数列{|an|}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,

由题意得解得

所以由等差数列通项公式可得

an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.

故an=-3n+5或an=3n-7.

(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列,不满足条件;

当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件。

故|an|=|3n-7|=

记数列{|an|}的前n项和为Sn.

当n=1时,S1=|a1|=4;

当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;

当n≥3时,

Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)

.

当n=2时,满足此式。

综上,

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的性质及应用等比数列的基本运算等比数列的性质及应用其它方法求和
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

已知数列中,,(),则

正确答案

解析

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的判断与证明
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

无限循环小数可以化为分数,如0.i=,0.i=,0.1=,…,请你归纳出0.99=________;

正确答案

解析

知识点

由数列的前几项求通项
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知数列满足.

(1)求数列的通项公式

(2)设,求数列的前n项和.

正确答案

见解析。

解析

知识点

由数列的前几项求通项
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

若数列满足 ,则称数列。记

(1) 写出一个数列满足

(2) 若,证明:数列是递增数列的充要条件是

(3) 在数列中,求使得成立的的最小值。

正确答案

解析

(1)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列

(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列)。

(2)必要性:因为E数列A5是递增数列,

所以.

所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.

所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.

充分性,由于a2000—a1000≤1,

a2000—a1000≤1

……

a2—a1≤1

所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999.

又因为a1=12,a2000=2011,

所以a2000=a1+1999.

是递增数列.

综上,结论得证。

(3)对首项为4的E数列Ak,由于

……

……

所以

所以对任意的首项为4的E数列Am,若

则必有.

的E数列

所以n是最小值是9。

知识点

由数列的前几项求通项
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

若函数的解集是

.

正确答案

解析

知识点

由数列的前几项求通项
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

是首项为,公差为的等差数列,是其前项和。

(1) 若,求数列的通项公式;

(2) 记,,且成等比数列,证明:().

正确答案

见解析。

解析

(1)因为是等差数列,由性质知,…………2分

所以是方程的两个实数根,解得,………4分

.……………6分

(2)证明:由题意知∴   ∴                             …………7分∵成等比数列,∴ ∴ …………8分∴  ∴  ∵   ∴  ∴…10分 ∴ ∴左边=   右边= ∴左边=右边∴()成立. ……………12分

知识点

由数列的前几项求通项
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4。

(1)求{an}的通项公式;

(2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn

正确答案

见解析。

解析

知识点

由数列的前几项求通项分组转化法求和等差数列与等比数列的综合
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知等差数列满足:.的前n项和为.

(1)求 及

(2)令),求数列的前n项和.

正确答案

见解析。

解析

(1)设等差数列的公差为d,因为,所以有

,解得

所以==

(2)由(1)知,所以bn===

所以==

即数列的前n项和=

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值裂项相消法求和
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

对于无穷数列,记,给出下列定义:①若存在实数,使成立,则称数列为“有上界数列”;②若为有上界数列,且存在,使成立,则称为“有最大值数列”;③若,则称数列为“差减小数列”。

(1)根据上述定义,判断数列分别是那种数列?

(2)在数列中,,求证:数列既是有上界数列又是差减小数列;

(3)若数列是有上界数列且是差减小数列但不是有最大值数列,求证:无穷数列为单调递增数列。

正确答案

见解析

解析

(1)1),显然,且存在

所以数列既是由上界数列,又是有最大值数列,    ………2分

2),,,

且不存在,使成立;所以数列是差减小数列,又是有上界数列 …4分

(2)下面用反证法证明,假设存在某个k使得,成立,则必有,显然与已知矛盾,所以不成立;假设存在某个k使得,成立,则必有成立,即得到成立,与矛盾,所以

, ,两式相减得:,即,即,所以既是差减少数列又是有上界数列,………4分

(3)用反证法,假设无穷数列不是单调递增数列,则设k为第一个使成立的自然数,即,又是差减小数列,所以,数列从第k项开始都有,即,又因为此时,所以数列从第k项开始为单调递减数列,又由于k为第一个使成立的自然数,所以无穷数列中,必有

无穷数列为有最大值数列,与已知矛盾,所以假设不成立,无穷数列一定是单调递增数列,5分

知识点

由数列的前几项求通项
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百度题库 > 高考 > 文科数学 > 数列的概念与简单表示法

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