数列的概念与简单表示法
共705题

数列的概念与简单表示法
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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知实数（且）满足，记.

（1）求及的值；

（2）当时，求的最小值；

（3）当为奇数时，求的最小值。

注：表示中任意两个数,（）的乘积之和.

正确答案

（1）

（2）

（3）

解析

（1）由已知得。

。 ………………………3分

（2）时，。

固定，仅让变动，那么是的一次函数或常函数，

因此。

同理。

。

以此类推，我们可以看出，的最小值必定可以被某一组取值的所达到，于是。

当（）时，

。

因为，

所以，且当，，时，

因此。……………………………………7分

（3）

固定，仅让变动，那么是的一次函数或常函数，

因此。

同理。

。

以此类推，我们可以看出，的最小值必定可以被某一组取值的所达到，于是。

当（）时，

。

当为奇数时，因为，

所以，另一方面，若取，

，那么，因此。…………………………………13分

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知数列，把数列的各项排列成如图所示的三角形数阵，记表示该数阵中第s行从左到右第t个数，则M（10，9）为

A55

B53

C109

D107

正确答案

解析

略

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

若a= 30.6，6= log30.2，c=0.63，则

Aa>c>b

Ba>b>c

Cc>b>a

Db>c>a

正确答案

解析

略

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 12 分

某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为整数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：

（1）求a、b的值；

（2）若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率。

正确答案

见解析。

解析

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 14 分

设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）。

（1）求，；

（2）若，求证：；

（3）求证：存在，使得。

正确答案

见解析

解析

（1）；

，……………5分

（2）假设是一个位数（），

那么可以设，

其中且（），且。

由可得，。

所以。

因为，所以。

而，

所以，即， ……………9分

（3）由（2）可知当时，。

同理当时，。

若不存在，使得。

则对任意的，有，总有。

则，可得，取，则，与矛盾。

存在，使得， ……………14分

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列是一个公差大于零的等差数列，且，数列的前n项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，试比较的大小，并予以证明.

正确答案

见解析。

解析

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知数列{an}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{1nf（an）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”，现有定义在（0，+）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=ex ③f（x）=，则为“保比差数列函数”的是

A①②

B②③

C①③

D①②③

正确答案

解析

略

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 14 分

数列、的每一项都是正数,,,且、、成等差数列,、、成等比数列,.

（1）求、的值；

（2）求数列、的通项公式；

（3）记，证明：对一切正整数，有.

正确答案

见解析。

解析

（1）由，可得.

由，可得.

（2）因为、、成等差数列，所以…①.

因为、、成等比数列，所以，

因为数列、的每一项都是正数，所以…②.

于是当时，…③.

将②、③代入①式，可得，

因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，

所以，于是.

则.

当时，，满足该式子，所以对一切正整数，都有.

（3）方法一:，所以.

于是

方法二:.

于是

知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 5 分

数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若，则位于第10行的第8列的项等于（），在图中位于（）。（填第几行的第几列）

正确答案

第行的第列

解析

略

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 12 分

设{an}是正数组成的数列，a1=3。若点在函数的导函数图像上。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，是否存在最小的正数M，使得对任意n都有b1+b2+…+bn＜M成立？请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

知识点

由数列的前几项求通项

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