- 空间几何体的结构
- 共7713题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面结论不正确的是（ ）
正确答案
解析
对于B，连接AC，∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，且CC1⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥面ACC1，∴BD⊥AC1，B正确；
对于C，由上可知BD⊥面ACC1，又BD∥B1D1，∴B1D1⊥面ACC1，则平面ACC1A1⊥CB1D1，C正确；
对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角，为45°，D错误．
故选：D．
如果三棱锥A-BCD的底面BCD是正三角形，顶点A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥．给出下列结论：
①正三棱锥所有棱长都相等；
②正三棱锥至少有一组对棱（如棱AB与CD）不垂直；
③当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；
④若正三棱锥所有棱长均为2
⑤若正三棱锥A-BCD的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为40°，过点B的平面分别交侧棱AC，AD于M，N．则△BMN周长的最小值等于2
以上结论正确的是______（写出所有正确命题的序号）．
正确答案
③④⑤
解析
解：①正三棱锥所有侧棱长都相等，底边长都相等，故不正确；
②正三棱锥顶点A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，故对棱（如棱AB与CD）垂直，故不正确；
③当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和等于此正四面体的高，为定值，故正确；
④若正三棱锥所有棱长均为2
⑤若正三棱锥A-BCD的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为40°，过点B的平面分别交侧棱AC，AD于M，N．则△BMN周长的最小值等于
故答案为：③④⑤．
正确答案
四面体是正四面体；或者四面体的三个角B，C，D处的三个角的和都是180°
解析
解：仔细观察，发现四面体ABCD，沿棱AB、AC、AD剪开，铺成平面图形，展开后的图形是三角形，A1，A2，A3，三点与A重合，不妨四面体是正四面体即可满足题意．
故答案为：四面体是正四面体；或者四面体的三个角B，C，D处的三个角的和都是180°．
正三棱锥P-ABC侧棱长为a，∠APB=30°，D、E分别在PB、PC上，则△ADE的周长的最小值为______．
正确答案
解析
△ADE的周长的最小值为AA1，
∠APA1=90°
所以AA1=
故答案为：
下述棱柱中为长方体的是（ ）
正确答案
解析
解：由于长方体的底面是矩形，侧棱垂直于底面
对于A，底面可以为任意多边形；
对于B，底面可以是等腰梯形；
对于C，底面不一定是正方形，
对于D，满足底面是矩形，侧棱垂直于底面
故选D．
已知正四棱锥P-ABCD的体积为
正确答案
解析
解：设正方形ABCD的中心为点O，则由底面边长为2可得OA=
再根据正四棱锥P-ABCD的体积为 
故PA=
故答案为：
下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：BD错在没有其余各面都是有公共边的四边形，这个条件；
C错在：其余各面都没有一个公共顶点的三角形这个条件．
故选：A
在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是以下几何形体的4个顶点：
①矩形；②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
其中正确的说法是______．（填上正确答案的序号）
正确答案
①③④⑤
解析
③如四面体A1ABD；
④如四面体A1C1BD；
⑤如四面体B1ABD；
则正确的说法是①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B-D1EC的表面积最大，则E点位于（ ）
正确答案
解析
解：如图，
对三棱锥B-D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，
面BCD1 的面积为定值，
要使三棱锥B-D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1 的面积和最大，
而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，
∴E点位于点A处时，三棱锥B-D1EC的表面积最大．
故选：A．
①B，E，F，C四点共面；
②直线BF与AE异面；
③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD；．
⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．
其中正确的有______．（请写出所有符合条件的序号）
正确答案
①②③
解析
①根据已知，EF∥AD∥BC；
∴EF∥BC；
∴B，E，F，C四点共面；
∴该结论正确；
②由图可看出BF和AE异面；
∴该结论正确；
③由①EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC；
∴EF∥平面PBC；
∴该结论正确；
④分别取AD，EF，BC的中点G，H，M，并连接GH，HM，MG，则GH⊥EF，HM⊥EF；
而EF是平面BCE和平面PAD的交线；
∴∠GHM为平面BCE与平面PAD形成的二面角的平面角；
若设该几何体的侧棱长为2，则：
GH=
显然GH2+HM2≠MG2；
∴∠GHM≠90°；
∴平面BCE与平面PAD不垂直；
∴该结论错误；
⑤把该正四棱锥沿底面各边及侧棱PD剪开，得到的展开图如下：
BH⊥PA，∴B到侧棱PA的最短距离为BE，BE=
过E作EN⊥PD，则EN是点E到PD的最短距离，且EN=
而N到C的最短距离便是线段NC的长，NC=
∴从B点出发，绕过PAD面到达C点的最短距离为
而BE+EF+FC=
∴该结论错误；
综上得正确的结论为①②③．
故答案为：①②③．
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