- 空间几何体的结构
- 共7713题
设某圆锥的底面的边界恰是球O的一个大圆，且圆锥的顶点也在球O的球面上，设球O的体积为V1，设该圆锥的体积为V2，则V1：V2=______．
正确答案
4：1
解析
解：设球O的半径为 r，球的体积V1 =
∴
故答案为 4：1．
已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为______（结果保留π）．
正确答案
12π
解析
解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h
∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，
∴
因此，圆锥的高h=
∴圆锥的体积为：V=
故答案为：12π
正确答案
解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面 （3分）
S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π．
故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π=68π （7分）
由
所以，旋转体的体积为
解析
解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面 （3分）
S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π．
故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π=68π （7分）
由
所以，旋转体的体积为
正确答案
解析
解：根据题意，OA为y轴，则圆锥的底面在XOZ平面上，
又有点B（2，0，0）在圆锥的母线上，则圆锥底面的半径为2，
故点（0，0，-2）是底面圆周与Z轴负半轴的交点，设为D点，
又有点E（0，2，-1）在圆锥的母线上，
分析可得，这条母线在XOY平面内，必过D、E两点，其余Y轴交与点（0，4，0）；
即圆锥的高为4，
由圆锥的体积公式可得，其体积为
故答案为：
已知圆锥曲线的母线长为5，底面圆半径为3，那么它的体积为______．
正确答案
12π
解析
∴圆锥的高h=4
因此，圆锥的体积为
故答案为：12π．
A
B
C
Dπabc
正确答案
解析
解：当ABCD在圆柱的底面上时，由题意可得AC等于圆柱的底面直径2r，圆柱的高等于c．
故2r=
同理可得，当ABB1A1在圆柱的底面上时，外接圆柱侧面积为 πb
当BCC1B1在圆柱的底面上时，外接圆柱侧面积为 πa
令a=3，b=2，c=1，检验可得在 πc 
故选：A．
若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（ ）
正确答案
解析
解：设母线长为l，则S侧=π（1+3）l=4πl．
S上底+S下底=π•12+π•32=10π．
据题意4πl=20π即l=5，
故选C．
如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设圆柱高为h，则底面半径为
由题意知，S=πh2，
∴h=
∴V=π（
故选D．
两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．
（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线DE与CF所成的角；
（2）问此正子体的体积V是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围．
正确答案
解：（1）分别以CA、DB为x、y轴建立空间直角坐标系．
因为AC=1，BD=1，
∴
因为异面直线所成角为锐角，
故异面直线DE与CF所成的角为60°
（2）正子体体积不是定值．
设ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，
设AA′=x（0≤x≤1），则AB′=1-x
故
解析
解：（1）分别以CA、DB为x、y轴建立空间直角坐标系．
因为AC=1，BD=1，
∴
因为异面直线所成角为锐角，
故异面直线DE与CF所成的角为60°
（2）正子体体积不是定值．
设ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，
设AA′=x（0≤x≤1），则AB′=1-x
故
正确答案
解析
由题意设圆锥的底面半径为r，
则母线长l=3r，
则圆锥的高h=
由轴截面得，
∴圆锥与正方体的表面积之比为（πr2+πrl）：6a2=4πr2：6a2=3π：4，
故选D．
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