- 空间几何体的结构
- 共7713题
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小．
正确答案
（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．
∵AP=BP，
∴PD⊥AB．
∵AC=BC，
∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD．
∵PC⊂平面PCD，
∴PC⊥AB．
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E．连接BE，CE．
∵AB=BP，
∴BE⊥AP．
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arcsin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC，AP=BP，
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC．
∵AC∩BC=C，
∴PC⊥平面ABC．
∵AB⊂平面ABC，
∴PC⊥AB．
（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．
设P（0，0，t）．
∵|PB|=|AB|=2
∴t=2，P（0，0，2）．
取AP中点E，连接BE，CE．
∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，
∴CE⊥AP，BE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵E（0，1，1），
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arccos
解析
（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．
∵AP=BP，
∴PD⊥AB．
∵AC=BC，
∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD．
∵PC⊂平面PCD，
∴PC⊥AB．
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E．连接BE，CE．
∵AB=BP，
∴BE⊥AP．
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arcsin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC，AP=BP，
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC．
∵AC∩BC=C，
∴PC⊥平面ABC．
∵AB⊂平面ABC，
∴PC⊥AB．
（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．
设P（0，0，t）．
∵|PB|=|AB|=2
∴t=2，P（0，0，2）．
取AP中点E，连接BE，CE．
∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，
∴CE⊥AP，BE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵E（0，1，1），
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arccos
在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（ ）
正确答案
解析
解：如图所示，在平面ABD内，∵AE：EB=AF：FD=1：4，
∴EF∥BD．
∴EF∥平面BCD．
又在平面BCD内，
∵H，G分别是BC，CD的中点，
∴HG∥BD．∴HG∥EF．
又
在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，
∴四边形EFGH为梯形．
故选：B．
长方体ABCD-A1B1C1D1中截去一角B1-A1BC1，则它的体积是长方体体积的______．
正确答案
解析
解：设长方体的三度为：a，b，c，则长方体的体积为：abc，截去一角B1-A1BC1的体积为：
所以截去一角B1-A1BC1后的体积与长方体体积的比为：
故答案为：
正确答案
解析
解：过F作FG⊥AB，垂足为G，连接GE，
∵AD⊥AB，
∴AD∥FG，∴G为AB的中点，
∴FG=1，AG=1，
∵E为AC的中点，∴AE=1，∠BAC=θ，
∴EG=
∵AD⊥平面ABC，∴FG⊥平面ABC，
在Rt△FGE中，EF=
∵0
故答案是
正确答案
4
解析
解：如果一个三棱锥V-ABC中，侧棱VA⊥底面ABC，并且△ABC中∠B是直角．
因为BC垂直于VA的射影AB，所以VA垂直于平面ABC的斜线VB，
所以∠VBC是直角．
由VA⊥底面ABC，所以∠VAB，∠VAC都是直角．
因此三棱锥的四个面中∠ABC；∠VAB；∠VAC；∠VBC都是直角．
所以三棱锥最多四个面都是直角三角形．
故答案为：4
AF：FB=（ ）
正确答案
解析
解：设正方体的棱长为：2，由题意可知C1E=
∠C1EF=90°，所以设AF=x，12+x2+C1E2=22+22+（2-x）2
解得：x=
故选C．
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P使D1P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是______．
正确答案
（0，1]
解析
设AD=a（a＞0），AP=x（0＜x＜2），
则P（a，x，2），C（0，2，2），
∴
∵D1P⊥PC，∴
即a2+x（x-2）=0，a=
当0＜x＜2时，a∈（0，1]．
故答案为：（0，1]．
已知正三棱锥S-ABC，若点P是底面ABC内一点，且P到三棱锥S-ABC的侧面SAB、侧面SBC、侧面SAC的距离依次成等差数列，则点P的轨迹是（ ）
正确答案
解析
解：设点P到三个面的距离分别是d1，d2，d3，
因为正三棱锥的体积为定值，所以d1+d2+d3为定值，
因为d1，d2，d3成等差数列，所以d2为定值，
所以点P的轨迹是平行BC的线段．
故选A．
以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
正确答案
解析
解：正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个
不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个
所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70-12=58个
故选C．
（1）证明A′E⊥B′D′；
（2）求AE的长．
正确答案
（1）证明：AA‘⊥平面A'B'C'D'，∴AA'⊥B'D'．
又AE⊥B'D'，∴B'D'⊥平面AA'E，
因此B'D'⊥A'E
（2）解：A'B'•A'D'=A'E•B'D'（都是△A'B'D'面积的2倍）
∴6×8=A'E×
∴A'E=4.8
∴AE=
解析
（1）证明：AA‘⊥平面A'B'C'D'，∴AA'⊥B'D'．
又AE⊥B'D'，∴B'D'⊥平面AA'E，
因此B'D'⊥A'E
（2）解：A'B'•A'D'=A'E•B'D'（都是△A'B'D'面积的2倍）
∴6×8=A'E×
∴A'E=4.8
∴AE=
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