空间几何体的结构_章节学习

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题型：填空题

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填空题

若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是______．

正确答案

（0，）

解析

解：根据条件，四根长为1的直铁棒与两根长为x的直铁棒要组成三棱锥形的铁架，

有以下两种情况：

①底面是边长为1的正三角形，三条侧棱长为1，x，x，如图，

此时x应满足：∵AD=，SD=，且SD＜SA+AD，

∴＜1+，

即x2＜2+，

∴＜x＜；

②构成三棱锥的两条对角线长为x，其他各边长均为1，如图所示，

此时应满足0＜x＜；

综上，x的取值范围是（0，）．

故答案为：（0，）．

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题型：单选题

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单选题

圆锥的母线长为2cm，过顶点和底面圆心的截面面积为2cm2，则该圆锥的侧面积为（　　）

Aπcm2

B2πcm2

C2πcm2

D4πcm2

正确答案

C

解析

解：因为圆锥的母线长为2cm，过顶点和底面圆心的截面面积为2cm2，

所以，，所以圆锥的顶角90°．

圆锥的底面半径为：．

所以圆锥的侧面积：=2π （cm2）．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

如图BD是边长为3的ABCD为正方形的对角线，将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于______．

正确答案

18π

解析

解：∵矩形ABCD绕直线AB旋转一周，形成的几何体是一个圆柱；△ABD绕直线AB旋转一周，形成的几何体是一个圆锥

∴将△BCD绕直线AB旋转一周，形成一个圆柱减圆锥形状的几何体

由此可得该几何体的体积V=V圆柱-V圆锥=π×32×3-π×32×3=18π

故答案为：18π

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题型：填空题

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填空题

半径为5的球内包含有一个圆台，圆台的上、下两个底面都是球的截面圆，半径分别为3和4．则该圆台体积的最大值为______．

正确答案

解析

解：由题意，圆台体积的最大时，圆台的上、下两个底面在球心的两侧，

∵半径为5的球内包含有一个圆台，圆台的上、下两个底面都是球的截面圆，半径分别为3和4，

∴圆台的高为4+3=7，

∴圆台体积的最大值为=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知点P是三角形ABC所在平面外一点，且PA=BC=1，截面EFGH分别平行于PA，BC（点E，F，G，H分在棱AB，AC，PC，PB上）

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形且周长为定值；

（2）设PA与BC所成角为θ，求四边形EFGH的面积的最大值．

正确答案

（1）证明：∵PA∥平面EFGH，PA⊂平面PAB，平面PAB∩平面EFGH=EH

∴PA∥EH．同理可得PA∥GF，可得EH∥GF，

同理得到EF∥HG，

∴四边形EGFH中，两组对边分别平行，

因此，四边形EFGH为平行四边形．

∵空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．

且PA=BC=1，

∴①，②，

则①+②得，

∵PA=BC=1，∴EF+EH=1，

∴四边形EFGH的周长=2，故四边形EFGH的周长为定值．

2）∵PA与BC所成角为θ，

∴平行四边形EFGH中∠HEF=θ或180°-θ，

可得截面EFGH的面积S=HE•EF•sin∠EGE=HE•EF•sinθ，

设，则，

∴EH=λPA=λ，同理可得EF=1-λ，且0＜λ＜1，

则S=λ（1-λ）sinθ≤sinθ=sinθ，

当且仅当等号成立，

由此可得：当E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大，最大值为sinθ．

解析

（1）证明：∵PA∥平面EFGH，PA⊂平面PAB，平面PAB∩平面EFGH=EH

∴PA∥EH．同理可得PA∥GF，可得EH∥GF，

同理得到EF∥HG，

∴四边形EGFH中，两组对边分别平行，

因此，四边形EFGH为平行四边形．

∵空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．

且PA=BC=1，

∴①，②，

则①+②得，

∵PA=BC=1，∴EF+EH=1，

∴四边形EFGH的周长=2，故四边形EFGH的周长为定值．

2）∵PA与BC所成角为θ，

∴平行四边形EFGH中∠HEF=θ或180°-θ，

可得截面EFGH的面积S=HE•EF•sin∠EGE=HE•EF•sinθ，

设，则，

∴EH=λPA=λ，同理可得EF=1-λ，且0＜λ＜1，

则S=λ（1-λ）sinθ≤sinθ=sinθ，

当且仅当等号成立，

由此可得：当E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大，最大值为sinθ．

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题型：简答题

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简答题

四面体ABCD中，点G1，G2，G3，G4分别是△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的重心．求证：AG1，BG2，CG3，DG4交于一点．

正确答案

证明：如图，

∵G1，G2分别是△BCD，△ACD的重心，

连接BG2，AG1并延长，交CD于点E，在平面ABE中，设AG1∩BG2=M，则，

连接DG1，AG4并延长交于N，在平面ADN中，设AG1∩DG4=M′，则，

从而可得M，M′重合，即AG1，BG2，DG4交于一点M，

同理可得CG3过点M．

即AG1，BG2，CG3，DG4交于一点．

解析

证明：如图，

∵G1，G2分别是△BCD，△ACD的重心，

连接BG2，AG1并延长，交CD于点E，在平面ABE中，设AG1∩BG2=M，则，

连接DG1，AG4并延长交于N，在平面ADN中，设AG1∩DG4=M′，则，

从而可得M，M′重合，即AG1，BG2，DG4交于一点M，

同理可得CG3过点M．

即AG1，BG2，CG3，DG4交于一点．

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题型：填空题

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填空题

已知三棱锥S-ABC的所有棱长均为2，D是SA 的中点，E是BC 的中点，则△SDE绕直线SE 转一周所得到的旋转体的表面积为______．

正确答案

解析

解：如图，作DF垂直SE于F，因为三棱锥S-ABC的所有棱长均为2，D是SA 的中点，E是BC 的中点，故CE=1，解得SE=

又SD=1，EA=ES，故DE垂直SA，由此求得DE=，

由等面积法可求得DF==

故此旋转体的表面积为+=

故答案为

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题型：填空题

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填空题

如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：

①点H是△A1BD的中心；

②AH垂直于平面CB1D1；

③AC1与B1C所成的角是90°．

其中正确命题的序号是______．

正确答案

①②③

解析

解：由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；

又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；

从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°，③正确．

故答案为：①②③

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题型：单选题

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单选题

将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（　　）

A由1个圆台和2个圆锥组合而成

B由1个圆柱和2个圆锥组合而成

C由2个圆台和1个圆锥组合而成

D由2个圆台和1个圆柱组合而成

正确答案

B

解析

解：如图等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是

由1个圆柱和2个圆锥组合而成．

故选B．

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题型：填空题

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填空题

设圆锥的母线长为l，底面半径为r，满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种，则=______．

正确答案

解析

解：由题意画出轴截面图，如图所示，

圆锥的母线长为l，底面半径为r，

设圆锥高为h，内接圆柱高为x，底面半径为y，

∵CD∥AB，∴，∴，则，

∴圆锥的侧面积S1=πrl，圆柱的侧面积S2=2πx•y=．

由圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的得：，

即，也就是．

又“圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种

∴方程有且只有一个解，

∴△==0，

即．

∵，

∴，

整理得：，∴．

∴圆锥的母线长为l，底面半径为r，满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种时的．

故答案为．

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