空间几何体的结构_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设一个圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l．

（1）若r=2，h=6，求圆锥的侧面积Mc，表面积Mb和体积V；

（2）判断各种不同形状的圆锥，表达式是否为定值，并说明理由．

正确答案

解：（1）依题意得Mc=πrl…①Mb=πrl+πr2…②…③

∵r=2，h=6，∴l2=r2+h2=22+62=40，∴l=2．

代入已知条件得．（6分）

（2）证明：由（1）①②③得：（10分）

又因为圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，

∴h2+r2=l2所以（定值）．（12分）

解析

解：（1）依题意得Mc=πrl…①Mb=πrl+πr2…②…③

∵r=2，h=6，∴l2=r2+h2=22+62=40，∴l=2．

代入已知条件得．（6分）

（2）证明：由（1）①②③得：（10分）

又因为圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，

∴h2+r2=l2所以（定值）．（12分）

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题型：填空题

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填空题

圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和较大底面的一条半径相交且成60°角，则圆台的侧面积为______．

正确答案

6π

解析

解：圆台的轴截面如图

由已知，∠DBE为母线和下底面的一条半径成的角，∴∠DBE=60°，

设圆台上底面的半径为 r，下底面的半径为 R，

过D作DE⊥OB于E，在RT△DEB中，母线DB=2，∴EB=R-r=DB•cos∠DBE=2×=1，∴R=2

故圆台的侧面积等于π（r+R）l=π（1+2）×2=6π，

故答案为：6π．

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题型：填空题

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填空题

考查正方体的六个面的中心，从中任意选出三个点连成三角形，再把剩下的三个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率为______．

正确答案

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解析

解：正方体六个面的中心任取三个只能组成两种三角形，

一种是等腰直角三角形，如图甲．另一种是正三角形，如图乙．

若任取三个点构成的是等腰直角三角形，剩下的三个点也一定构成等腰直角三角形，

若任取三个点构成的是正三角形，剩下的三点也一定构成正三角形．

所以所得的两个三角形全等，

这是一个必然事件，因此概率为1，

故答案为：1．

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题型：简答题

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简答题

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，E、F、G分别是PO、AD、AB的中点．

（Ⅰ）求证：PC⊥平面EFG；

（Ⅱ）若AB=1，求三棱锥O-EFG的高．

正确答案

（Ⅰ）证明：设FG∩AC=H，连结EH，

在Rt△ABC中，AB=BC，且AB2+BC2=AC2，

在△PAC中，PA=PC=AB，

PA2+PC2=AC2，∴AP⊥PC，

E、F、G分别是PO、AD、AB的中点，

FG∥BD，

∴H为AO中点，

∴EH∥PA，故EH⊥PC，

∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，

∴FG⊥AC，

∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥FG

∵PO∩AC=O，∴FG⊥平面PAC，

∴FG⊥PC，

∵FG∩EH=H，

∴PC⊥平面EFG；

（Ⅱ）解：设三棱锥O-EFG的高为h，则

由VO-EFG=VE-FOG得=

∴h=．

解析

（Ⅰ）证明：设FG∩AC=H，连结EH，

在Rt△ABC中，AB=BC，且AB2+BC2=AC2，

在△PAC中，PA=PC=AB，

PA2+PC2=AC2，∴AP⊥PC，

E、F、G分别是PO、AD、AB的中点，

FG∥BD，

∴H为AO中点，

∴EH∥PA，故EH⊥PC，

∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，

∴FG⊥AC，

∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥FG

∵PO∩AC=O，∴FG⊥平面PAC，

∴FG⊥PC，

∵FG∩EH=H，

∴PC⊥平面EFG；

（Ⅱ）解：设三棱锥O-EFG的高为h，则

由VO-EFG=VE-FOG得=

∴h=．

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题型：填空题

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填空题

在三棱锥P-ABC中，给出下列四个命题：

①如果PA⊥BC，PB⊥AC，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；

②如果点P到△ABC的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心；

③如果棱PA和BC所成的角为60？，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1；

④三棱锥P-ABC的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于；

⑤如果三棱锥P-ABC的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-arccos．

其中正确命题的序号是______．

正确答案

①④⑤

解析

解：①若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．

②若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，不正确．

③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1或；不正确．

④如果三棱锥P-ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于，正确．

⑤如果三棱锥P-ABC的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-arccos，正确．

故答案为：①④⑤．

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题型：填空题

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填空题

用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积是______．

正确答案

或

解析

解：∵侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，

若圆柱的底面周长为12cm，则底面半径R=cm，h=8cm，

此时圆柱的体积V=π•R2•h=cm3

若圆柱的底面周长为8cm，则底面半径R=cm，h=12cm，

此时圆柱的体积V=π•R2•h=cm3．

故答案为：或．

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题型：填空题

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填空题

下列有关棱柱的说法：

①棱柱的所有的面都是平的；

②棱柱的所有的棱长都相等；

③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；

④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；

⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等．

正确的有______．

正确答案

①④⑤

解析

解：根据棱柱是多面体知棱柱的所有的面都是平的；①正确，

棱柱的所有的棱长不一定都相等；②不正确，

棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形或是平行四边形，③不正确，

棱柱的侧面的个数与底面的边数相等，④正确，

棱柱的上、下底面是两个全等的多边形，形状、大小相等，⑤正确

故答案为：①④⑤

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题型：简答题

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简答题

设三棱锥D-ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．

正确答案

解：证一：设DA=a，DB=b，DC=c，AB=p，BC=q，CA=r．

于是p2=a2+b2，q2=b2+c2，r2=c2+a2．

由余弦定理：

∴∠CAB为锐角．

同理，∠ABC，∠BCA也是锐角．

证二：作DE⊥BC，E为垂足，因DA垂直于平面DAC，

所以DA⊥BC又BC⊥DE，所以BC垂直于平面EAD，从而BC⊥AE

及在△ABC中，A在BC边上的垂足E介于B和C之间，

因此，∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角．

解析

解：证一：设DA=a，DB=b，DC=c，AB=p，BC=q，CA=r．

于是p2=a2+b2，q2=b2+c2，r2=c2+a2．

由余弦定理：

∴∠CAB为锐角．

同理，∠ABC，∠BCA也是锐角．

证二：作DE⊥BC，E为垂足，因DA垂直于平面DAC，

所以DA⊥BC又BC⊥DE，所以BC垂直于平面EAD，从而BC⊥AE

及在△ABC中，A在BC边上的垂足E介于B和C之间，

因此，∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角．

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题型：填空题

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填空题

正四面体ABCD的棱长为a，EFG分别是AB，AC，CD的中点，截面EFG交棱BD于H则点A到截面EFGH的距离是______．

正确答案

解析

解：如图，

∵ABCD是正四面体，且E，F，G分别是AB，AC，CD的中点，

可得四边形EFGH为正方形，取AD中点M，BC中点N，连接MN，

则有MN⊥平面EFGH，且M，N到平面EFGH的距离相等，

BM=CM=，则MN=．

∴M到平面EFGH的距离为．

∵AD∥平面EFGH，∴A到平面EFGH的距离为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

正三棱锥S-ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则其内切球的半径R=______．

正确答案

2（-1）

解析

解：如图：设SO⊥底面ABC，则O是正三角形的中心，取AB的中点D，连接SD、OD、OB，

即SD⊥AB，OD⊥AB，

由题意知，SO=2，∠SDO=45°，则SD=2，

在RT△ODB中，OD=2，∠OBD=30°，BD=2，则AB=4，

设内切球的半径R，由三棱锥的体积相等得，

××4×××2=××4×××R+3×××4×2×R

解得，R=2（-1），

故答案为：2（-1）．

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