- 空间几何体的结构
- 共7713题
轴截面是等边三角形的圆锥的侧面展开图的中心角是（ ）
A
B
Cπ
D
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为r，由题意得
∵轴截面是等边三角形
∴圆锥的母线长l=2r，
∵底面半径为r，可得圆锥的底面周长为2πr，
∴圆锥的侧面展开图的弧长为2πr，
设圆锥侧面展开图的圆心角为α，则
lα=2πr，即2rα=2πr，解之得α=π
故选：C
下面命题正确的有 ______个．
①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱
②过圆锥侧面上一点有无数条母线
③三棱锥的每个面都可以作为底面
④圆锥的轴截面（过轴所作的截面）是等腰三角形．
正确答案
2
解析
解：①②错：①错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所在的直线；②两点确定一条直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面上一点只有一条母线；③④正确，③三棱锥的性质；④是圆锥的性质．
故答案为：2
甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是a，若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为______．
正确答案
解析
解：显然，四面体的四个顶点在以中心（碳原子）为球心，中心到各顶点（氢原子）的距离为半径的球面上，
如图，将此正四面体ABCD补成正方体BD′，
其中A′、B′、D′也在球面上，
设任意两个氢原子之间的距离为x，则2a=BD′．
BD′、AB（x）、AA′之间的关系是x=AB=
因此
故答案为：
A4π
Bπ
C
D2π
正确答案
解析
解：连结FN、FP，依题意可知△MFN中，MF⊥NF，
∵Rt△MFN中，斜边MN=2，∴FP=
由此可得点P在二面角A-A1D1-B1内运动所形成的轨迹，
是以点F为球心、1为半径的球的
∴所求面积为S=
故选：B
某圆台的正视图是上底与腰长均为2，下底边为4的等腰梯形，则此圆台的表面积为（ ）
正确答案
解析
解：由题意可得，圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，腰长为2，
故圆台的表面积为π×12+π×22+π×（1+2）×2=11π，
故选：B．
正确答案
解析
解：几何体是图中阴影部分绕直线OC旋转一周所得旋转体，
是一个圆柱内挖去一个半球后剩余部分，球是圆柱的内接球，
所以圆柱的底面半径是：1，高为 1，
球的半径为1，
所以圆柱的体积：12π×1=π，
半球的体积：
阴影部分绕直线OC旋转一周所得旋转体的体积为：
故答案为
在正三棱锥P-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面△ADE的周长的最小值是（ ）
正确答案
解析
解：此正三棱锥的侧面展开图如图
∴当D、E处于如图位置时，截面△ADE的周长最小，即为AA′的长
设∠APB=α，过P作PO⊥AA′，则O为AA′中点，∠APO=
在等腰三角形PAB中，sin
∴cosα=1-2sin2
∴sin
∴AA′=2AO=2AP×sin
故选C
三棱锥的底面是两条直角边长分别为6cm和8cm的直角三角形，各侧面与底面所成的角都是60°，则棱锥的高为______．
正确答案
解析
解：如图，设三棱锥的顶点P在底面上的射影为D，
∵各侧面与底面所成的角都是60°
∴点P在底面的投影是直角三角形的内心，
作DF⊥BC，则DF=2，∠PFD=60°
∴PD=
故答案为：
已知圆锥的底面半径为r，母线长为l，其中2r＜l，由圆锥底面圆周上一点A出发，经过圆锥侧面绕行一周再回到出发点A，求经过的最短距离．
正确答案
解：
∴弧所对的弦长是2×lsin
解析
解：
∴弧所对的弦长是2×lsin
半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，
则圆锥的母线长为R，
设圆锥的底面半径为r，
则2πr=πR，
即r=
∴圆锥的高h=
∴圆锥的体积V=
故选：C
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