- 空间几何体的结构
- 共7713题
正确答案
三者比较得
∴最短距离是
解析
三者比较得
∴最短距离是
一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为______．
正确答案
解析
解：最下边正方体的侧面积为4×1=4
从下边数第二个正方体的侧面积为4×
从下边数第三个正方体的侧面积为4×
…
即相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半．
各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以
故Sn=
当n=6时
S6=
而除侧面外其它面的和为1，
故6个正方体暴露在外面部分的面积和为
故答案为：
正确答案
解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面（3分）
S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π．
故所求几何体的表面积为68π（7分）
由
所以，旋转体的体积为
解析
解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面（3分）
S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π．
故所求几何体的表面积为68π（7分）
由
所以，旋转体的体积为
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则下列结论正确的是 ______（所有正确的序号都写上）．
（1）l＜a+b+c；
（2）l2=a2+b2+c2；
（3）l3＜a3+b3+c3；
（4）l3＞a3+b3+c3．
正确答案
（1）（2）（4）
解析
l3-a3-b3-c3=（a2+b2+c2）•l-a3-b3-c3=a2（l-a）+b2（l-b）+c2（l-c）＞0
所以l3＞a3+b3+c3所以（4）正确（3）错误，
故答案为：（1）（2）（4）．
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，定点M在棱AB上（不在端点A、B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（ ）
正确答案
解析
设AM=t（0＜t＜a），则M（0，t，0），设P（x，y，0），
设PR⊥A1D1于R，则PR是点P到直线A1D1的距离
PR2=y2+a2，PM2=x2+（y-t）2，
由题意，得PR2-PM2=y2+a2-[x2+（y-t）2]=a2
化简，得x2=2ty-t2，
故P的轨迹是抛物线
故选：A．
△ABC中，AB=
正确答案
12π
解析
解：将△ABC绕BC边所在直线旋转一周，所得简单组合体是一个大圆锥
减去一个同底的小圆锥，底面半径是：
小圆锥的高：
简单组合体的体积：
故答案为：12π
给出下列四个命题：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确的命题的个数为（ ）个．
正确答案
解析
解：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱，此命题不成立，可将两个底面全等的两个棱柱叠加，所得的几何体符合条件但不是棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱，在斜棱柱中存在两个底面垂直于底面的情况故命题不成立；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，此命题不正确；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱，此命题不正确，因为两底面不一定是正方形．
故选A
①AP⊥B1C；
②BP与CD1所成的角是60°；
③
④B1P∥平面D1AC；
⑤二面角P-AB-C的平面角为45°．
其中正确命题的个数有（ ）
正确答案
解析
解：
∴B1C⊥面ABC1，
∴AP⊥B1C，命题①正确；
对于②，BP与CD1所成的角等于BP与CD1所成的角，等于60°，命题②正确；
对于③，∵BC1∥面AD1C，则P到面AD1C的距离相等，
∴
对于④，∵面BB1C1与面AD1C相交，
∴B1P∥平面D1AC错误；
对于⑤，由二面角的定义知，∠C1BC为二面角P-AB-C的平面角，等于45°，命题⑤正确．
∴正确命题的个数是4个．
故选：C．
（1）证明：AE∥平面BCD；
（2）证明：平面BDE⊥平面CDE；
（3）求该几何体的体积．
正确答案
又因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，
所以DM⊥平面ABC，
因为AE⊥平面ABC，所以AE∥DM，
又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，
所以AE∥平面BCD．（4分）
（2）由（1）知AE∥DM，又AE=1，CM=1，
所以四边形DMAE是平行四边形，则有DE∥AM，
由（1）得DM⊥AM，又AM⊥BC，
∴AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD，
又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD，
由已知BD⊥CD，DE∩BD=D，
∴CD⊥平面BDE，
因为CD⊂平面CDE，
所以平面BDE⊥平面CDE．（10分）
（也可利用勾股定理等证明题中的垂直关系）
解：（3）∵BC⊥DM，BC⊥AM，DM∩AM=M，
∴BC⊥平面AEDM，（11分）
AM=
易得四边形AEDM为矩形其面积S=
故该几何体的体积V=VC-AEDM+VB-AEDM=
解析
又因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，
所以DM⊥平面ABC，
因为AE⊥平面ABC，所以AE∥DM，
又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，
所以AE∥平面BCD．（4分）
（2）由（1）知AE∥DM，又AE=1，CM=1，
所以四边形DMAE是平行四边形，则有DE∥AM，
由（1）得DM⊥AM，又AM⊥BC，
∴AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD，
又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD，
由已知BD⊥CD，DE∩BD=D，
∴CD⊥平面BDE，
因为CD⊂平面CDE，
所以平面BDE⊥平面CDE．（10分）
（也可利用勾股定理等证明题中的垂直关系）
解：（3）∵BC⊥DM，BC⊥AM，DM∩AM=M，
∴BC⊥平面AEDM，（11分）
AM=
易得四边形AEDM为矩形其面积S=
故该几何体的体积V=VC-AEDM+VB-AEDM=
A
B4
C
D3
正确答案
解析
解：根据几何体的性质，结合光的反射原理得出
P关于B的对称点N，
∴MP=NP，
即连接DN，D1N，
根据正方体的性质，得出Rt△D1DN，
∵边长为2，
∴AN=3，AD=2，
即DN=
∵DD1=2，
∴D1N=
故选：C
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