- 空间几何体的结构
- 共7713题
已知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，P∈直线CE，则BP+DP的最小值为（ ）
A1+
B
C
D
正确答案
解析
解：由于各棱长均为1的四面体是正四面体，
把平面BEC及平面CED以CE为折线展平，三角形CED是正三角形的一半，
CE=
故在平面DEBC中，连接BD，与EC相交于P点，则DP+BP为最短距离，
在三角形BEC中，根据余弦定理，
cos∠BEC=
cos∠DEB=cos（90°+∠BEC）=-sin∠BEC=-
∴BD2=BE2+DE2-2BE•DE•cos∠DEB=
∴BD=
即BP+DP的最小值是
故选B．
（2015秋•河南校级月考）下列几何体是台体的是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：A中几何体四条侧棱的延长线不是相交于一点，所以不是棱台；
B中几何体上下底面不平行，所以不是圆台；
C中几何体是棱锥，不是棱台；
D中几何体侧面的母线延长相交于一点，且上下底面平行，是圆台．
故选：D．
已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的体积与全面积之比等于______．
正确答案
解析
解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，
底面半径为：1，圆锥的高为：
圆锥的体积为：
∴圆锥的体积与全面积之比等于
故答案为：
三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，M在△ABC内，∠MPA=∠MPB=60°，则∠MPC=______．
正确答案
45°
解析
∵∠APB=∠APC=90°，∴AP⊥平面PBC，
∵MQ⊥平面PBC，∴AP∥MQ，
∵∠MPA=60°，∴∠MPQ=90°-60°=30°．
由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=
∵∠QPC是∠QPB的余角，∴cos∠QPC=
再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，得到cos∠MPC=
∴∠MPC=45°．
故答案为：45°．
把圆柱体的侧面沿母线展开后得到一个矩形，若矩形的一组邻边长分别为8π和4π，则该圆柱体的体积是______．
正确答案
32π2或64π2（只填一个给2分）
解析
解：圆柱的侧面展开图是矩形的一组邻边长分别为8π和4π，
当母线为8π时，圆柱的底面半径是2，此时圆柱体积是4π×8π=32π2；
当母线为4π时，圆柱的底面半径是4，此时圆柱的体积是 16π×4π=64π2；
综上所求圆柱的体积是：32π2或64π2．
故答案为：32π2或64π2
（2015春•徐汇区校级期中）圆锥底面半径为3，母线长为12，B是母线PA的中点，则点A绕圆锥一周到达点B的最短距离为______．
正确答案
解析
解：圆锥的展开图为扇形，扇形的圆心角为
故答案为：6
一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则圆锥的体积等于（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°半径为3的扇形
∴圆锥的母线长为l=3，底面周长即扇形的弧长为
∴底面圆的半径r=1，可得底面圆的面积为π×r2=π
又圆锥的高h=
故圆锥的体积为V=
故选A．
将长为
正确答案
解析
解：如图所示；
将矩形对角线右侧部分镜像至左侧，可视为左侧部分图形绕原矩形对角线旋转一周所成的几何体；其体积相当于半个矩形旋转体体积的两倍减去图中间阴影等腰三角形绕矩形对角线旋转所得几何体体积；
半个矩形绕对角线旋转所得几何体相当于两个对底圆锥：
底面半径 R=
两锥体合高 h1+h2=
体积 v=
图中阴影等腰三角形底边即原矩形对角线 h=2，是旋转后所成几何体的两对底锥的加和高度；该对底锥底面半径就是等腰三角形的高 r=
旋转体体积V1=
该矩形绕对角线旋转一周所得几何体的体积为
V几何体=2v-V1=2×
故答案为：
在△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，现以BC边所在的直线为轴把△ABC（及其内部）旋转一周后，所得几何体的全面积是______cm2．
正确答案
24π
解析
解：∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5，以BC边所在的直线为轴，
将△ABC旋转一周，则所得到的几何体的底面周长=6πcm，侧面面积=
几何体的全面积为：15π+9π=24π cm2，
故答案为：24π．
如图所示，三棱锥M，PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，则此三棱锥P-ABC中直角三角形有______个．
正确答案
4
解析
解：由已知PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，
所以CB⊥PA，CB⊥AB，又PA∩AB=A，
所以CB⊥平面PAB，
所以CB⊥PB，
所以此三棱锥P-ABC中直角三角形有△ABC，△ABP，△ACP，△PBC共有4个．
故答案为：4．
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