空间几何体的结构_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知在三棱锥A-BCD中，M，N分别为AB，CD的中点则下列结论正确的是（　　）

AMN≥（AC+BD）

BMN

CMN=（AC+BD）

DMN＜（AC+BD）

正确答案

D

解析

解：如图所示，取BC的中点E，连接ME、EN，

在△ABC中，∵AM=MB，CE=EB，∴ME=，

同理EN=BD，

在△MEN中，∵ME+EN＞MN，

∴，即MN．

故选D．

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题型：单选题

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单选题

正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是1，E，F分别为AB，A1C1的中点，则EF的长是（　　）

A1

B

C

D

正确答案

C

解析

解：取AC的中点O，连接OE，OF，

∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，F为A1C1的中点

∴FO⊥平面ABC

∵EO⊂平面ABC

∴FO⊥EO

∵正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是1，E为AB的中点，

∴OE=

在直角三角形EOF中，FO=1，OE=

∴EF=

故选C．

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题型：简答题

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简答题

正多面体有几种？其名称是什么？

正确答案

答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体．

解析

答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•扶沟县期末）一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为（　　）

A一个圆锥

B一个圆锥和一个圆柱

C两个圆锥

D一个圆锥和一个圆台

正确答案

C

解析

解：做出斜边上的高，得到两个小的直角三角形，一个直角三角形绕斜边旋转360° ，相当于以两个小直角三角形的直角边

为轴旋转，故以一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是两个同底的圆锥，

底面是以直角三角形的斜边上的高为半径的圆面，这两个圆锥的高都在直角三角形的斜边上，

且这两个圆锥的高的和等于直角三角形的斜边长．

故选 C．

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题型：填空题

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填空题

在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是______（写出所有正确结论的编号）．

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体．

正确答案

①③④⑤

解析

解：如图：①正确，如图四边形A1D1BC为矩形

②错误任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1D1BC为矩形；

③正确，如四面体A1ABD；

④正确，如四面体A1C1BD；

⑤正确，如四面体B1ABD；

则正确的说法是①③④⑤．

故答案为①③④⑤

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题型：简答题

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简答题

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，点P在A1B上，且AB⊥CP．

（1）证明：P为A1B中点；

（2）若A1B⊥AC1，求三棱锥P-A1AC的体积．

正确答案

解：（Ⅰ）证明：取AB中点Q，

∴CQ⊥AB

又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO

∴AB⊥QP

∴P为A1B的中点（4分）

（Ⅱ）连接AB1，取AC中点R，连接A1R，

则BR⊥平面A1C1CA，由已知A1B⊥AC1，

∴A1R⊥AC1，∴△AC1C～△A1RA

∴，∴AC=A1A（6分）

则AA1=，则AC=2

∵

∴h=（10分）

∴（12分）

解析

解：（Ⅰ）证明：取AB中点Q，

∴CQ⊥AB

又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO

∴AB⊥QP

∴P为A1B的中点（4分）

（Ⅱ）连接AB1，取AC中点R，连接A1R，

则BR⊥平面A1C1CA，由已知A1B⊥AC1，

∴A1R⊥AC1，∴△AC1C～△A1RA

∴，∴AC=A1A（6分）

则AA1=，则AC=2

∵

∴h=（10分）

∴（12分）

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题型：简答题

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简答题

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求所得旋转体的表面积及体积．

正确答案

解：由题意，线段AB旋转一周形成圆柱的侧面，线段CB旋转一周形成圆C，CD旋转一周形成圆锥的侧面，线段AD旋转一周形成一个圆环，

∵∠DCB=60°，∴圆锥的底面半径为r=a，母线l=2a，高为a

∴旋转体的表面积S=S圆柱侧+S圆C+S圆锥侧+S圆环=2π•2a•a+π•（2a）2+π•a•2a+π[（2a）2-a2]=…（7分）

该旋转体的体积是经AB为母线的圆柱体积减去以CD为母线的圆锥的体积，即

V=π•（2a）2•a-π•a2•a=…（14分）

解析

解：由题意，线段AB旋转一周形成圆柱的侧面，线段CB旋转一周形成圆C，CD旋转一周形成圆锥的侧面，线段AD旋转一周形成一个圆环，

∵∠DCB=60°，∴圆锥的底面半径为r=a，母线l=2a，高为a

∴旋转体的表面积S=S圆柱侧+S圆C+S圆锥侧+S圆环=2π•2a•a+π•（2a）2+π•a•2a+π[（2a）2-a2]=…（7分）

该旋转体的体积是经AB为母线的圆柱体积减去以CD为母线的圆锥的体积，即

V=π•（2a）2•a-π•a2•a=…（14分）

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题型：单选题

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单选题

要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：设圆锥的高为x，

则底面半径为，

其体积为V=πx（202-x2）（0＜x＜20），

V′=π（400-3x2），令V′=0，

解得x1=，x2=-（舍去）．

当0＜x＜时，V′＞0；

当＜x＜20时，V′＜0；

∴当x=时，V取最大值．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

圆柱的底面半径为3，母线长为5，则圆柱的体积为______．

正确答案

45π

解析

解：∵圆柱的底面半径为r=3，

∴圆柱的底面圆的面积S=πr2=9π

又∵圆柱的母线长为5，

∴圆柱的高h等于5

根据柱体体积公式，得V=Sh=9π×5=45π

故答案为：45π

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题型：填空题

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填空题

正四棱锥P-ABCD的底边及侧棱长都是2，M，N分别为底边CD，CB上的动点，且CM=CN，当四面体P-AMN的体积最大时，直线PA与面PMN的所成角的大小是______．

正确答案

45°

解析

解：如图，

设CM=CN=x，则DM=1-x，MN=，

AM2=4+（2-x）2=8-4x+x2，=．

=．

令f（x）=，则f′（x）=x3-6x2+8x，

由f′（x）=0，得x=2或x=4（舍），

∴当x=2时，有最大值，即S△AMN有最大值，四面体P-AMN的体积最大．

此时M与D重合，N与B重合，由△BAD≌△DPB，可得直线PA与面PMN的所成角的大小是45°．

故答案为：45°．

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