空间几何体的结构_章节学习

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题型：单选题

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单选题

把图中正三角形按虚线折起，可以得到一个（　　）

A三棱柱w

B三棱锥

C四棱柱

D四棱锥

正确答案

B

解析

解：把图中正三角形按虚线折起后，正三角形的三个顶点可以重合为一个点，即棱锥的顶点，

折完后，几何体的各个面均为三角形，共四个面，

故可以得到一个三棱锥，

故选B．

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题型：简答题

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简答题

在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P．问：

①依据题意画出这个几何体；

②这个几何体由哪几个面构成，每个面的三角形是什么三角形；

③若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少．

正确答案

解：①如图所示．

②这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP．

由平几知识可知DE=DF，∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°，

所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△EFP、△DEP为直角三角形．

③由②可知，DE=DF=a，EF=a，所以，S△DEF=a2．DP=2a，EP=FP=a，

所以S△DPE=S△DPF=a2，S△EPF=a2．

解析

解：①如图所示．

②这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP．

由平几知识可知DE=DF，∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°，

所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△EFP、△DEP为直角三角形．

③由②可知，DE=DF=a，EF=a，所以，S△DEF=a2．DP=2a，EP=FP=a，

所以S△DPE=S△DPF=a2，S△EPF=a2．

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题型：简答题

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简答题

如图，正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．

正确答案

解：连接AE，因为△SDE和△ABC都是边长为a的正三角形，并且SE和AE分别是它们的中线，

所以SE=AE，从而△SEA为等腰三角形，由于D是SA的中点，

所以ED⊥SA．作DF⊥SE，交SE于点F．考虑直角△SDE的面积，得到，所以，，

．

所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，即．

解析

解：连接AE，因为△SDE和△ABC都是边长为a的正三角形，并且SE和AE分别是它们的中线，

所以SE=AE，从而△SEA为等腰三角形，由于D是SA的中点，

所以ED⊥SA．作DF⊥SE，交SE于点F．考虑直角△SDE的面积，得到，所以，，

．

所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，即．

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题型：单选题

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单选题

将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体一定是（　　）

A圆锥

B圆柱

C圆台

D以上均不正确

正确答案

A

解析

解：由旋转体的定义，

将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，

形成的几何体为圆锥

故选A

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题型：填空题

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填空题

已知三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，且AB=2，点O在棱锥的高PH所在的直线上，PA、PB的中点分贝为E、F，满足=m+n+k，m，n，k∈R，且k∈[-，-]，则||的取值范围是______．

正确答案

[0，]

解析

解：以点H为坐标原点，HP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示；

则H（0，0，0），A（，-1，0），B（，1，0），C（-，0，0），

P（0，0，），E（，-，），F（，，）；

设点O（0，0，z），

则=（0，0，-z），=（，-，-z），

=（，，-z），=（-，0，-z）

∴=m+n+k=（m+n-k，-m+n，m（-z）+n（-z）-kz），

即；

化简得m+n=4k①，m=n②；

∴m=n=2k，

∴2（-z）k-kz=-z，

求出k=；

又k∈[-，-]，即∈[-，-]，

解得≤z≤①或≤z≤②，

即≤z≤，

∴||=|-z|∈[0，]，

即||的取值范围是[0，]．

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题型：填空题

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填空题

已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为216，则四面体AB1CD1与四面体A1BC1D的重叠部分的体积为______．

正确答案

36

解析

解：如图所示，

四面体AB1CD1与四面体A1BC1D的重叠部分是以长方体各面中心为定点的多面体，

摘出如图，

设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则abc=216，

重叠部分的体积为两个同底面的四棱锥体积和，等于．

故答案为：36．

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题型：填空题

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填空题

一个密闭的透明正方体容器内装有一半体积的溶液，任意转动容器，则溶液表面可以是：①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；其中正确的序号是：______．

正确答案

②、③、④

解析

解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

设棱长为a，

体积最大的三棱锥A1-ABC的体积是，

∵＜，

∴溶液表面不可能是三角形．

溶液表面是菱形，矩形和正方形时，其体均不小于，

故答案为：②③④．

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题型：简答题

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简答题

已知矩形ABCD内接于圆柱下底面的圆O，PA是圆柱的母线，若AB=6，AD=8，异面直线PB与CD所成的角为arctan2，求此圆柱的体积．

正确答案

解：设圆柱下底面圆O的半径为r，连AC，由矩形ABCD内接于圆O，

可知AC是圆O的直径，（2分）

∴，得r=5，（4分）

由AB∥CD，可知∠PBA就是异面直线PB与CD所成的角，即∠PBA=arctan2，

∴tan∠PBA=2．（7分）

在直角三角形PAB中，PA=ABtan∠PBA=12，（9分）

∴圆柱的体积V=πr2•PA=π×52×12=300π．（12分）

解析

解：设圆柱下底面圆O的半径为r，连AC，由矩形ABCD内接于圆O，

可知AC是圆O的直径，（2分）

∴，得r=5，（4分）

由AB∥CD，可知∠PBA就是异面直线PB与CD所成的角，即∠PBA=arctan2，

∴tan∠PBA=2．（7分）

在直角三角形PAB中，PA=ABtan∠PBA=12，（9分）

∴圆柱的体积V=πr2•PA=π×52×12=300π．（12分）

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题型：单选题

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单选题

若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（　　）

A4倍

B3倍

C倍

D2倍

正确答案

D

解析

解：圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r，则它的底面积为πr2；圆锥的侧面积为：=2πr2；

所以它的底面积与侧面积之比为：1：2．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线B1D1上一点E满足D1E=1，则∠CDE的大小为______．

正确答案

60°

解析

解：如图示：

∵D1E=1，

在直角三角形DD1E中，

∵D1D=D1E=1，

∴DE=，

以A为坐标原点，以向量所在直线为x轴，以向量所在直线为轴，

以向量所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，

则C（1，1，0），D（0，1，0），E（，1-，1），

∴=（1，0，0），=（，-，1），

∴cos∠CDE===，

∵∠CDE∈[0，π]，

∴∠CDE=60°，

故答案为：60°．

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