- 空间几何体的结构
- 共7713题
等腰Rt△ACB，AB=2，
A
B
C
D
正确答案
解析
解：
∵AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD，
∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，
∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，
∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，
因此，三棱锥C-HAM的体积V=
设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC=
可得CD=
Rt△ACD中，根据等积转换得CH=
Rt△ABD∽Rt△AHM，得
因此，S△CMH=
∵4+2tan2θ≥4
∴S△CMH=
当且仅当tanθ=
∵tanθ=
∴结合sin2θ+cos2θ=1，解出cos2θ=
由此可得CD=
即当三棱锥C-HAM的体积最大时，CD的长为
故选：C
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
正确答案
解析
显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°
正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；
故选C．
在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为______．
正确答案
12
解析
解：如图，
若投影投在AA1D1D或BB1CC1平面上，投影面积由E点确定，最大面积为8，E与A1重合时取最大面积；
若投影投在ABCD或A1B1C1D1平面上，投影面积由F点确定，最大面积为8，F与D1重合时取最大面积；
若投影投在ABA1B1或DD1CC1平面上，投影面积由E点与F点确定，当E与A1，F与C1重合时，可得最大面积，G投在BB1的中点，是个直角梯形S=
故答案为12．
点P在平面ABC外，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的（ ）
正确答案
解析
所以△PAO≌△POB≌△POC
即：OA=OB=OC
所以O为三角形的外心．
故选A
已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，两条侧棱长都为
正确答案
（
解析
E是BD的中点，连AE，CE，则在三角形ACE中，CE=
当∠AEC→0时，第三条侧棱长→AE-CE=
当∠AEC→π时，第三条侧棱长→AE+CE=
故第三条侧棱长的取值范围是（
故答案为：（
正确答案
解析
解：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示；
（2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示；
（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示；
（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的．
故答案选C．
空间四边形ABCD的一组对边BC、AD的长分别为6，4，BC⊥AD，则连接对角线AC，BD中点的线段长为______．
正确答案
解析
∵空间四边形ABCD的一组对边BC、AD的长分别为6、4，
∴GE∥BC，GE=3，GF∥AD，GF=2，
∵BC⊥AD，∴∠EGF=90°
∴EF2=GE2+GF2=9+4=13，
∴EF=
故答案为：
下面棱柱是正四棱柱的条件有______
（1）底面是正方形，有两个侧面是矩形；
（2）底面是正方形，有两个侧面垂直于底面；
（3）底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直；
（4）每个侧面都是全等矩形的四棱柱．
正确答案
（3）
解析
解：（1）底面是正方形，有两个侧面是矩形且相对，另一对不是矩形时，不是正四棱柱；
（2）反例同（1）；
（3）正确；
（4）底面是菱形时，不是正四棱柱；
故答案为：（3）．
长方体三个面的面积为
正确答案
解析
解：设长方体的三度分别为：a，b，c，由题意可知：ab=
所以，a=
所以长方体的对角线长为：
故答案为：
下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是______．（写出所有真命题的编号）
正确答案
①，④
解析
解：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
可推出底面中心等于是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的．
②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，
根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，
由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，
因此不能保证三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．
故答案为：①④
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