- 空间几何体的结构
- 共7713题
已知在空间四面体OABC中，OB=OC，AB=AC，求证：OA⊥BC．
正确答案
证明：如图所示，
取BC的中点O，连接OD，AD．
∵OB=OC，AB=AC，
∴OD⊥BC，AD⊥BC，
又OD∩AD=D，
∴BC⊥平面OAD，
∴BC⊥OA．
解析
证明：如图所示，
取BC的中点O，连接OD，AD．
∵OB=OC，AB=AC，
∴OD⊥BC，AD⊥BC，
又OD∩AD=D，
∴BC⊥平面OAD，
∴BC⊥OA．
（1）求圆锥的体积．
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，并求出最大值．
正确答案
解：（1）如图所示：∵圆锥的高 
故圆锥的体积V锥=
（2）在△PEB中，FN∥BE，则
圆柱的侧面积S=2π×rx=2π 
S的图象是一个开口向下，对称轴为x=2 的抛物线，且0＜x＜4．
故当x=2时，圆柱的侧面积S有最大值为6π．
解析
解：（1）如图所示：∵圆锥的高
故圆锥的体积V锥=
（2）在△PEB中，FN∥BE，则
圆柱的侧面积S=2π×rx=2π
S的图象是一个开口向下，对称轴为x=2 的抛物线，且0＜x＜4．
故当x=2时，圆柱的侧面积S有最大值为6π．
过圆锥高的中点作平行于底面的截面把圆锥分成上下两部分，则所得圆锥的侧面积与所得圆台的侧面积之比为（ ）
正确答案
解析
∴小扇形的半径AP=
于是S1=
∴S1=
故选B．
一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设球的半径为r
所以
故选A．
在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是______（写出所有正确结论的编号）
①能构成每个面都是等边三角形的四面体；
②能构成每个面都是直角三角形的四面体；
③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体．
正确答案
①②③
解析
若我们取ACB1D1四点，则得到一个每个面都是等边三角形的四面体，故①正确
如四面体B1ABD，每个面都是直角三角形的四面体，故②正确
若我们取ABCB1四点，则得到一个有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，故③正确，
故答案为：①②③．
已知圆锥的高为8，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是（ ）
正确答案
解析
则半径为6，
∵圆锥的高为8，
根据勾股定理可知：圆锥的母线长为10．
根据周长公式可知：圆锥的底面周长=12π，
∴扇形面积=10×12π÷2=60π．
故选：D．
一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）
正确答案
解析
AB⊥面BCD，BC⊥CD，BC⊥AC，
那么它的三个侧面都是直角三角形．
故选D．
下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：如果以直角三角形的斜边旋转，不是圆锥，A不正确；夹在圆柱两个平行截面间的几何体还是一个旋转体，平面与底面不平行，不是旋转体，不正确；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，符合根据圆台的定义，正确；通过圆台侧面一点，有无数条母线，显然不正确，因为只有一条母线．
故选C
由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（ ）
正确答案
解析
解：由俯视图，我们可得该几何体中小正方体共有4摞，
结合正视图和侧视图可得：
第1摞共有3个小正方体；
第2摞共有1个小正方体；
第3摞共有1个小正方体；
第4摞共有2个小正方体；
故搭成该几何体的小正方体木块有7块，
故选B．
正确答案
解：沿三棱锥P-ABC的侧棱PA剪开后再展开，如图，
原图中△AEF的周长最小，也就是展开图中的AA′，
在△PAB中，因为PA=PB=8，AB=4，
设∠APB=α，则
∠APA′=3α，
由cos3α=4cos3α-3cosα=
在△APA′中，由余弦定理得：
AA′2=PA2+PA′2-2PA•PA′cos3α
=
=121．
所以，AA′=11．
所以，△AEF的周长最小值为11．
解析
解：沿三棱锥P-ABC的侧棱PA剪开后再展开，如图，
原图中△AEF的周长最小，也就是展开图中的AA′，
在△PAB中，因为PA=PB=8，AB=4，
设∠APB=α，则
∠APA′=3α，
由cos3α=4cos3α-3cosα=
在△APA′中，由余弦定理得：
AA′2=PA2+PA′2-2PA•PA′cos3α
=
=121．
所以，AA′=11．
所以，△AEF的周长最小值为11．
扫码查看完整答案与解析