空间几何体的结构_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

已知圆台的上下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长______．

正确答案

5

解析

解：设圆台的母线长为l，

则圆台的上底面面积为S上=π•22=4π，

圆台的下底面面积为S下=π•62=36π，

所以圆台的底面面积为S=S上+S下=40π

又圆台的侧面积S侧=π（2+6）l=8πl，

于是8πl=40π，即l=5．

故答案为：5．

1

题型：单选题

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单选题

如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于（　　）

A45°

B60°

C90°

D120°

正确答案

B

解析

解：将展开图还原为正方体后，A、B、C是三个面上的相对顶点，即构成以面对角线为边的正三角形，

故∠ABC=60°，

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，将△ADE绕DE旋转得到△A′DE（A′∉平面ABC），则下列叙述错误的是（　　）

A平面A′FG⊥平面ABC

BBC∥平面A′DE

C三棱锥A′-DEF的体积最大值为a3

D直线DF与直线A′E不可能共面

正确答案

C

解析

解：∵△ABC是正三角形，∴A‘G⊥DE，DE⊥FG，∴DE⊥平面A′FG，DE⊂平面ABC，∴平面A′FG⊥平面ABC，故A正确

∵BC∥DE，BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，∴BC∥平面A′DE，故B正确

当A′G⊥平面ABC时，三棱锥A′-DEF的高为A′G，而底面DEF的面积一定，

∴三棱锥A′-DEF的体积最大值为××××a=a3，故C错误；

∵A′∉平面ABC，由异面直线的判定定理，直线DF与直线A′E是异面直线，故D正确．

故选C．

1

题型：填空题

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填空题

如图正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是______．（写出所有正确命题的编号）

①当0＜CQ＜时，S为四边形

②当CQ=时，S为等腰梯形

③当CQ=时，S与C1D1交点R满足C1R1=

④当＜CQ＜1时，S为六边形

⑤当CQ=1时，S的面积为．

正确答案

①②③

解析

解：设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT=2PQ⇒DT=2CQ．

对于①，当0＜CQ＜时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，所以为真．

对于②，当CQ=时，DT=1，T与D重合，截面S为四边形APQO1，所以AP=D1Q，截面为等腰梯形，所以为真．

对于③，当CQ=，QC1=，DT=2，D1T=，利用三角形相似解得，C1R1=，所以为真．

对于④，当＜CQ＜1时，＜DT＜2，截面S与线段A1D1，D1C1相交，所以四边形S为五边形，所以为假．

对于⑤，当CQ=1时，Q与C1重合，截面S与线段A1D1相交于中点G，即即为菱形APC1G，对角线长度为和，S的面积为，所以为假，

综上，选①②③．

1

题型：简答题

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简答题

如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．

（1）求三棱锥D-ABC的表面积；

（2）求证AC⊥平面DEF；

（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．

正确答案

解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．

∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=．

设G为CD的中点，则CG=，AG=．

∴，，．

三棱锥D-ABC的表面积为．

（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．

∵AF=3FC，∴F为CH的中点．

∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．

（3）存在这样的点N，

当CN=时，MN∥平面DEF．

连CM，设CM∩DE=O，连OF．

由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．

∴当CF=CN时，MN∥OF．∴CN=．

解析

解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．

∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=．

设G为CD的中点，则CG=，AG=．

∴，，．

三棱锥D-ABC的表面积为．

（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．

∵AF=3FC，∴F为CH的中点．

∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．

（3）存在这样的点N，

当CN=时，MN∥平面DEF．

连CM，设CM∩DE=O，连OF．

由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．

∴当CF=CN时，MN∥OF．∴CN=．

1

题型：单选题

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单选题

已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，则AC′等于（　　）

A85

B

C

D50

正确答案

B

解析

解：如图，

可得=，

故=

=42+32+52+2（4×3×0+4×5×+3×5×）=85．

∴AC′=．

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

如图的组合体的结构特征是（　　）

A一个棱柱中截去一个棱柱

B一个棱柱中截去一个圆柱

C一个棱柱中截去一个棱锥

D一个棱柱中截去一个棱台

正确答案

C

解析

解：如图所示的图形，可看成是四棱柱截取一个角

即三棱锥可得的组合体．

故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

如图，棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，侧棱PA垂直于底面，则下列命题中正确的是（　　）

A∠PDA是侧面PDC与底面所成二面角的平面角

BPC的长是点P到直线CD的距离

CEF的长是点E到平面AFP的距离

D∠PCB是侧棱PC与底面所成的线面角

正确答案

B

解析

解：棱锥P-ABCDEF底面是正六边形，所以AC⊥CD，

∠PCA是侧面PDC与底面所成二面角的平面角，A不正确；D不正确；

PC⊥CD，PC的长是点P到直线CD的距离，所以B正确；

EF不垂直AF，所以C不正确．

故选B．

1

题型：简答题

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简答题

设以AB=2a为直径的半圆上有一点P（如图所示），从P向AB引垂线，垂足为Q，求△APQ绕AB旋转一周，所得旋转体体积的最大值．

正确答案

解：设∠PAQ=θ，AB=2a，所以AP=2acosθ，AQ=2acos2θ，QP=2acosθsinθ，

所以以AB=2a为直径的半圆上有一点P（如图所示），从P向AB引垂线，垂足为Q，

△APQ绕AB旋转一周，所得旋转体体积为：V==

=

=．当且仅当sinθ=cosθ，时取等号．

所得旋转体体积的最大值．

解析

解：设∠PAQ=θ，AB=2a，所以AP=2acosθ，AQ=2acos2θ，QP=2acosθsinθ，

所以以AB=2a为直径的半圆上有一点P（如图所示），从P向AB引垂线，垂足为Q，

△APQ绕AB旋转一周，所得旋转体体积为：V==

=

=．当且仅当sinθ=cosθ，时取等号．

所得旋转体体积的最大值．

1

题型：填空题

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填空题

已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子（无上盖），上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到盒底的距离为______cm．

正确答案

10

解析

解：由题意知求球心到底面的距离，

实际上是求两个简单的组合体的上顶点到下底面的距离，

可以看做下面是一个正方体，正方体的棱长是6cm

上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为6的正方形，斜高是5，

则四棱锥的高是，

∴球心到盒底的距离为6+4=10cm

故答案为：10．

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