空间几何体的结构_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知正四棱锥P-ABCD的底面面积为16，一条侧棱长为，则它的斜高为______．

正确答案

解析

解：如图：

∵正四棱锥P-ABCD的底面面积为16

∴AE=AD=2，

在直角三角形PAE中，

斜高PE==

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

如图，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为______．

正确答案

S1＞S2＞S3

解析

解：设OA=a，OB=b，OC=c，则a＞b＞c＞0．取BC的中点D，连结OD、AD，

∵OD是△BCO的BC边上的中线，

∴S△OBD=S△OCD=S△OBC，因此VA-OBD=VA-OCD=VA-OBC，

即截面OAD将三棱锥O-ABC的体积分成两等分，可得S△OAD=S1，

∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥OB，OB⊥OC且OA⊥OC，

∵OB、OC是平面OBC内的相交直线，

∴OA⊥平面OBC，结合OD⊂平面OBC，得OA⊥OD．

∵Rt△OBC中，OB=b且OC=c，∴斜边BC=，得OD=BC=．

因此S△OAD=OA•OD=，即S1=．

同理可得S2=，S3=．

∵a＞b＞c＞0，

∴a2b2+a2c2＞a2b2+b2c2＞b2c2+a2c2，

可得＞＞，即S1＞S2＞S3．

故答案为：S1＞S2＞S3

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题型：简答题

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简答题

一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm、6cm，高是cm，求此三棱台的：

（1）侧棱长；

（2）斜高；

（3）体积．

正确答案

解：如图，

（1）由题意知，DM=×3×=，

AN=×6×=2，

又由MN=，

则AD==；

即侧棱长为cm；

（2）斜高h==；

（3）S1=×3×3×sin60°=，

S2=×6×6×sin60°=9，

则V=（+9+9）×=．

解析

解：如图，

（1）由题意知，DM=×3×=，

AN=×6×=2，

又由MN=，

则AD==；

即侧棱长为cm；

（2）斜高h==；

（3）S1=×3×3×sin60°=，

S2=×6×6×sin60°=9，

则V=（+9+9）×=．

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题型：填空题

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填空题

若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为______．

正确答案

解析

解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，

因为4π=πl2，所以母线长为l=2，

又半圆的弧长为2π，

圆锥的底面的周长为2πr=2π，

所以底面圆半径为r=1，

所以该圆锥的高为h===．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的容积等于 ______．

正确答案

解析

解：所画扇形是以R=4为半径的圆的周长的圆弧，所以=2π．∵2π又为圆锥的底面圆的周长∴圆锥底面半径r=1∵圆锥的高h2=R2-r2，解得h=

∴圆锥的容积v=πr2h=．

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．

（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；

（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；

（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．

正确答案

解：（Ⅰ）解：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB．

又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD．故PB在平面PAD内的射影为PA，

从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．

（Ⅱ）证明：在四棱锥P-ABCD中，

因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA．

由条件CD⊥PA，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．

又AE⊂面PAC，∴AE⊥CD．

由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，∴PC∩CD=C．综上得AE⊥平面PCD．

（Ⅲ）解：过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM．

由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD．

因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角．

由已知，可得∠CAD=30°．设AC=a，可得PA=a，，，．

在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，则．

在Rt△AEM中，．

所以二面角A-PD-C的大小．

解析

解：（Ⅰ）解：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB．

又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD．故PB在平面PAD内的射影为PA，

从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．

（Ⅱ）证明：在四棱锥P-ABCD中，

因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA．

由条件CD⊥PA，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．

又AE⊂面PAC，∴AE⊥CD．

由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，∴PC∩CD=C．综上得AE⊥平面PCD．

（Ⅲ）解：过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM．

由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD．

因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角．

由已知，可得∠CAD=30°．设AC=a，可得PA=a，，，．

在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，则．

在Rt△AEM中，．

所以二面角A-PD-C的大小．

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题型：填空题

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填空题

正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ______．

正确答案

或

解析

解：因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，所以有以下两种情况，

①：2是下底面的周长，4是三棱柱的高，此时，下底面的边长为，面积为=，

所以正三棱柱的体积为4×=

②：4是下底面的周长，2是三棱柱的高，此时，下底面的边长为，面积为，所以正三棱柱的体积为，

故答案为或

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题型：单选题

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单选题

如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（　　）

A4、5、6

B6、4、5

C5、6、4

D5、4、6

正确答案

D

解析

解：第一个正方体已知1，2，3第二个正方体已知1，3，4

第三个正方体已知2，3，5且不同的面上写的数字各不相同，

则可知1对面标的是5，2对面标的是4，3对面标的是6

故选D．

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题型：填空题

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填空题

如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①；

②∠BAC=60°；

③三棱锥D-ABC是正三棱锥；

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．

其中正确结论的序号是______．（请把正确结论的序号都填上）

正确答案

②③

解析

解：BD⊥平面ADC，⇒BD⊥AC，①错；

AB=AC=BC，②对；

DA=DB=DC，结合②，③对④错．

故答案为：②③

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题型：单选题

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单选题

圆锥的底面积为4π，其轴截面是正三角形，则其侧面积是（　　）

A2π

B4π

C8π

D16π

正确答案

C

解析

解：根据题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高等于h．

∵底面积为4π，∴πr2=4π，解得r=2．

又∵圆锥的轴截面是正三角形，

∴l=2r=4，h=r=2，

可得圆锥的侧面积是S=πrl=π×2×4=8π．

故选：C

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正确答案

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