热门试卷

（1） （2）理，文

（1）过E作EF⊥AD交AD于F，则∠CEF是异面直线PA与CE的夹角（3’）

联结CF，在Rt△CEF中，

∴tan∠CEF=，

∴夹角大小为（7’）

（2）（理）过F作FH⊥AC于H，则∠EHF是二面角E-AC-D的平面角（10’）

HF=，tan ∠EHF=

∴二面角E-AC-D的大小为（14’）

注：如构造坐标系，向量解法相应给分

（文）（14’）

证明见解析

(1)证明：取PD的中点E,连结EF、AE，

因为点F为PC的中点，所以EF∥CD，且，

而AB∥CD,，所以EF∥AB且EF=AB

所以四边形EFBA是平行四边形，所以BF∥AE

因为

所以BF∥平面PAD                   （6分）

（2）由题意知，

又，，

所以

由（1）知BF∥AE

所以  

(Ⅰ)；(Ⅱ)①//；②.

试题分析：（1）证明线线垂直，则可转化为线面垂直，由于圆周角的定义，则知，由矩形所在的平面垂直于该半圆所在平面，及面面垂直性质定理得面，则可得平面平面

根据垂直的有关性质定理，则可得平面，故

（2）①证明线线平行，则可用过平面的一个平行线作于该平面相交的平面，则该直线与交线平行由,得平面，又由平面平面于直线，则根据线面平行的性质定理得 ,由平行的传递性得  ；②则体积可以用多种方法，有直接求法、割补法、转化法，对于此题可转化后用直接求法，求三棱锥E-ADF先转化;根据三棱锥的体积公式，则有

试题解析：

是半圆上异于的点，

又 矩形所在的平面垂直于该半圆所在平面由面面垂直性质定理得面

平面平面 平面,故 .

（2）① 由,得平面,又平面平面于直线

根据线面平行的性质定理得 ,

故  ,②.

[证] 由已知条件知

．

又，

所以，

从而四点共圆，此圆记为．

同理可证：四点共圆，此圆记为．

点在圆，内．延长与圆相交于点，则

，

故四点共圆．                         

所以在的外接圆上，故在上．    

再用相交弦定理：

　　　             ，

故四点共圆．                        

解析见答案

(1)(2).

试题分析：（1）方法一：连接交于菱形的中心，过作，为垂足，连接，根据定义可知为二面角的平面角，在三角形中求出此角即可；

方法二：设与交点为，以为坐标原点，分别以所在直线为轴轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设平面，平面的法向量分别为,利用的公式进行计算.

（2）连接，设直线与直线相交于点，则四棱锥与四棱锥的公共部分为四棱锥，过作平面，为垂足，然后求出，利用体积公式求解即可．

试题解析：（1）方法一：如图（1）连结AC、BD交于菱形的中心O，过O

作OG⊥AF，G为垂足. 连结BG、DG.

由BD⊥AC，BD⊥CF，得BD⊥平面ACF， 故BD⊥AF. 于是AF⊥平面BGD，

所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B-AF-D的平面角.        3分

由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC，.

由OB⊥OG，OB=OD=，得∠BGD=2∠BGO.

即二面角B-AF-D的大小为.          6分

方法二：设AC与BD交点为O，以O为坐标原点，分别以BD 、AC所在直线为x轴

y轴建立如图所示的空间直角坐标系

则A(0，－1，0)，B(，0，0)，D(，0，0)，F(0，1，2)

，，            2分

设平面ABF，平面ADF的法向量分别为

设

由 

令            4分

同理可得  ∴ ∴ 

∴二面角B－AF－D的大小为                   6分

（2）如图（2）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，

则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD.

过H作HP⊥平面ABCD，所以平面ACFE⊥平面ABCD，

从而.             7分

由，得.        9分

又因为

故四棱锥的体积.     12分

（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）证明见解析

（Ⅲ）二面角的大小为

解法1（向量法）：

以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，

则有．

（Ⅰ）证明：

．

．

与平行，与平行，

于是与共面，与共面．

（Ⅱ）证明：，

，

，．

与是平面内的两条相交直线．

平面．

又平面过．

平面平面．

（Ⅲ）解：．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

．

二面角的大小为．

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：平面，平面．

，，平面平面．

于是，．

设分别为的中点，连结，

有．

，

于是．

由，得，

故，与共面．

过点作平面于点，

则，连结，

于是，，．

，．

，．

所以点在上，故与共面．

（Ⅱ）证明：平面，，

又（正方形的对角线互相垂直），

与是平面内的两条相交直线，

平面．

又平面过，平面平面．

（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，

根据三垂线定理，有．

过点在平面内作于，连结，

则平面，

于是，

所以，是二面角的一个平面角．

根据勾股定理，有．

，有，，，．

，，

二面角的大小为．

∵矩形的周长为20cm

设矩形的长为xcm，则宽为（10-x）cm

设绕其宽旋转成一个圆柱，

则圆柱的底面半径为xcm，高为（10-x）cm

则圆柱的体积V=πR2•h=πx2（10-x）

=4π•x•x•(10-x)

≤4π(

1

2

x+

1

2

x+(10-x)

3

)3=π．

当且仅当x=10-x，即x=时，圆柱体积取最大值

此时V=πcm3

故答案为：πcm3

4，平面AEB1

解：  （1）证明：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

平面ABC   1分

又平面ABC，    2分

    3分

（2）解：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

平面ABC，

又平面ABC

平面ECBB1    6分

    7分

是棱CC1的中点，

    8分

  （3）解：CF//平面AEB1，证明如下：

取AB1的中点G，联结EG，FG

分别是棱AB、AB1中点

又

四边形FGEC是平行四边形                       

又平面AEB，平面AEB1，

平面AEB1。12分