热门试卷

（1）见解析

（2）二面角A－SD－P的大小为

（1）因为底面，

所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………….……….1分

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，……………………….2分

又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以．………….…….3分

因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD,

所以SA⊥PD,               …………….……………………….…....4分

由于SA∩AP=A    所以平面SAP．…………………………….5分

（2）设Q为AD的中点,连结PQ,       ………………….………6分

由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,则平面SAD⊥平面PAD….7分

因为PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD

过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR,

由三垂线定理可知PR⊥SD,

所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角. …9分

容易证明△DRQ∽△DAS,则

因为DQ= 1，SA=1，，所以….……….10分

在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，所以………11分

所以二面角A－SD－P的大小为．……………….…….…….12分

或：过A在平面SAP内作,且垂足为H,在平面SAD内作,且垂足为E,连接HE，平面SAP。平面SPD…………7分

∴HE为AE在平面SPD内的射影，∴由三垂线定理得

从而是二面角A－SD－P的平面角……………………………….9分

在中,，在中,，

.        ………………………………….11分

即二面角的大小为……………………………12分

解法二：因为底面，

所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………………………1分

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1

建立空间直角坐标系(如图)

由已知，P为BC中点.

于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)

……..….2分

（1）易求得,

，..………….…....3分

因为，=0。

所以，

由于AP∩SP=P，所以平面SAP         ………….……………..….…5分

（2）设平面SPD的法向量为

由,得　　解得，

所以                     ……………….…………….……….8分

又因为AB⊥平面SAD，所以是平面SAD的法向量，易得…9分

所以    ….………………….11分

所求二面角的大小为. ……………….……….…… 12分

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

以D为原点，DA、DC、所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），（0，0，a），E（a，a，），F（a，，0），G（，a，0）．

　　（1），，-a），，0，，

　　∵　，

　　∴　．

　　（2），a，），

　　∴　．

　　∴　．

　　∵　，∴　平面AEG．

　　（3）由，a，），＝（a，a，），

　　∴　，．

（1）证明详见解析;（2）

试题分析：（1）由已知条件可证AD⊥BQ，AD⊥PQ,根据平面与平面垂直的判定定理即可求证平面PQB⊥平面PAD.

（2）连结AC交BQ于N，由AQ∥BC,可证△ANQ∽△BNC,即得,由直线与平面平行的性质，可证PA∥MN,即得，所以PM=PC,即t=.

试题解析：(1)连BD,四边形ABCD菱形, ∵AD⊥AB, ∠BAD="60°"

△ABD为正三角形, Q为AD中点, ∴AD⊥BQ

∵PA=PD,Q为AD的中点,AD⊥PQ

又BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面PQB, AD平面PAD

∴平面PQB⊥平面PAD; 

(2)当时,平面 

下面证明,若平面,连交于 

由可得,, 

平面,平面,平面平面, 

  即:  ; 

（1）

（2）

解法一：（Ⅰ）因，且，故面，

从而，又，故是异面直线与的公垂线．

设的长度为，则四棱椎的体积为

．

而直三棱柱的体积为．

由已知条件，故，解之得．

从而．

在直角三角形中，，

又因，

故．

（Ⅱ）如图，过作，垂足为，连接，因，，故面．

由三垂线定理知，故为所求二面角的平面角．

在直角中，，

又因，

故，所以．

解法二：

（Ⅰ）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，则，．

设，则，

又设，则，

从而，即．

又，所以是异面直线与的公垂线．

下面求点的坐标．

设，则．

因四棱锥的体积为

．

而直三棱柱的体积为．

由已知条件，故，解得，即．

从而，，．

接下来再求点的坐标．

由，有，即     （1）

又由得．    （2）

联立（1），（2），解得，，即，得．

故．

（Ⅱ）由已知，则，从而，过作，

垂足为，连接，

设，则，因为，故

……………………………………①

因且得，即

……………………………………②

联立①②解得，，即．

则，．

．

又，故，

因此为所求二面角的平面角．又，从而，

故，为直角三角形，所以．

k

略

（1）（2）（3）

（1）过作

平面 平面平面

平面

又平面，又平面

为到平面的距离。

在中

由 得；

（2）由（1）知平面 为直线与平面所成的角

在中，

（3）过作，连，由（1）知平面，由三垂线定理的逆定理知 为二面角的平面角，

在中，在中，

（1）连接DM并延长交D1A1的延长线于Q．连接NQ，

则NQ即为所求的直线l．

（2）设QN∩A1B1=P，△A1MQ≌△MAD，

∴A1Q=AD=A1D1，A1是QD1的中点．

∴A1P=D1N=．∴PB1=a．

（3）作D1H⊥l于H，连接DH，可证明l⊥平面DD1H，则DH⊥l，则DH的长就是D到l的距离．

在Rt△QD1N中，两直角边D1N=，D1Q=2a，斜边QN=a，∴D1H•QN=D1N•D1Q，即D1H=a，DH==a，∴D1到l的距离为a．

解：(Ⅰ) 连结与交于，

则为的中点，为的中点，为的中位线，//. 又平面，平面//平面………………4分

（Ⅱ）(解法1)过作于，由正三棱柱的性质可知，

平面，连结，在正中，

在直角三角形中，

由三垂线定理的逆定理可得.则为二面角的平面角，

又得，

，

∴.故所求二面角的大小为.………………8分

解法（2）（向量法）

建立如图所示空间直角坐标系，则

。

设是平面的一个法向量，则可得

，所以即取

可得

又平面的一个法向量设则

又知二面角是锐角,所以二面角 的大小是……………………………………………………………………8分

（Ⅲ）设求点到平面的距离；因，所以，故，而………………10分

由……………12分

略