热门试卷

（I）证明见解析。

（Ⅱ）

本小题考查空间里的线线关系、二面角，综合题。

（I）作∥交于N，作交于E，

连ME、NB，则面，,

设，则,

在中，。

在中由

解得，从而 M为侧棱的中点M.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，

设分别是平面、的法向量，则

且，即且

分别令得，即

，

∴  

二面角的大小。

（1）见解析（2）（3）

（1）取中点，连接，，又为中点

，平面，平面，， 同理可证 ，平面，平面平面， 平面 平面．

（2）延长，过作垂直直线于，易证平面，，，二面角的平面角的正切值为，∴

∵，∴， ，过点做，以为原点，以射线分别为的正方向建立直角坐标系（如图）

则，， ，，，，，．

， ，      

∴异面直线与所成的角余弦值为．

（3）取中点，易证平面，所以面一个法向量为 

，，设平面的法向量为

则，

取得得平面的一个法向量为∴ 

∴二面角的大小为．

略

（1）取BD的中点为M，连续FM，CＭ

为AB的中点，MF//AD，

由题知为等边三角形，

BD，又DEBD   2分

面CFM//面ADE，

面CMF，CF//面ADE   4分

（2）由平面几何知识：BECD，ADDE，平面ADE平面BDEC   5分

平面BDEC，

面ACD

面PBE，平面ACD平面PBE   8分

（3）法一，由（2）BE面ACD，

设，

由题意知BECD，BEPQ，

PQC为二面角P—BE—C的平面角  10分

AD=CD，

二面角P—BE—C的大小为45°     12分

（法二）

建立空间直角坐标系{DE、DB、DA}，A（0，0，1），

则    9分

面PBE，AD面BCED

设二面角P—BE—C的大小为，

则    11分

二面角P—BE—C的大小为45°    12分

证明见答案

（１）连接、交于点，连接，

是正方形，为的中心，

又为的中点，，

而面，面．

（２）连接，是正方形的四个顶点距离相等，

在平面中的射影为正方形的外心，即中心，

为平面，，

又，面，而而，

面面．

. (本小题满分分)

(本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、圆柱的侧面积、余弦定理等知识，考查数形结合、化归转化的数学思想和方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

解:（1）(解法一)：由题意可知 ，

解得  ，                                       …………分

在中，，      …………分

∴ ，

又 ∵是的中点，

∴ .　　　　①                                 …………分

∵为圆的直径，

∴ .

由已知知 ，

∴ ，

∴  .                    …………分

∴ .      ②

∴ 由①②可知：，

∴ .                          …………分

（2）由（1）知： ，

∴，，

∴是二面角的平面角 .      …………分

, , .

∴ .

 .   ………分

(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，

由题意可知.

解得.                    

则，，， ，

∵是的中点，

∴ 可求得.      …………分

（1），，

∴ .

  ∵ ，

∴ .           …………分

（2）由（1）知,， ，

，   .                           

∵，.

∴是平面的法向量.                                    …………分

设是平面的法向量，

由，，

解得                                       …………分

.

所以二面角的平面角的余弦值.            …………分

（1）证明见解析。

（2）证明见解析。

（3）二面角B—AB1—D的正切值为

解法一：

证明：（1）因为B1B⊥平面ABC，AD平面ABC，

所以AD⊥B1B   （1分）

因为D为正△ABC中BC的中点，

所以AD⊥BD   （2分）

又B1B∩BC=B，

所以AD⊥平面B1BCC1  （3分）

又AD平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1   （4分）

（2）连接A1B，交AB1于E，连DE   （5分）

因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点  （6分）

又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，

所以DE//A1C   （7分）

又DE平面AB1D，所以A1C//平面AB1D   （8分）

（3）解：过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG。

因为平面A1ABB1⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A1ABB1。

又AB1平面A1ABB1，所以AB1⊥DF。

又FG⊥AB1，所以AB1⊥平面DFG，所以AB1⊥DG。  （9分）

又AB1⊥FG，所以∠DGF为二面角B—AB1—D的平面角。  （10分）

因为AA1=AB=1，

所以在正△ABC中，

在  （11分）

所以在   （12分）

解法二：

解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有：

（1）证明：由，

得

又BC∩⊥BB1=B，所以AD⊥平面B1BCC1。  （4分）

又AD平面AB1D，所以平面AB1D⊥B1BCC1   （5分）

（2）证明：连接A1B，交AB1于E，连DE，

因为点E为正方形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点，

即   （6分）

又DE平面AB1D，所以A1C//平面AB1D   （8分）

（3）解：设平面ABB1的一个法向量为

由   （9分）

设平面AB1D的一个法向量为

由   （10分）

所以    （11分）

所以，

依图可得二面角B—AB1—D的正切值为   （12分）

（1）证明见解析（2）（3）

(1)：据题意，BC,ED的延长线相交，设交点为F，则、都为正三角形，且C,D为中点，从而，∴据三垂线定理，知.

（2）：∵,又,

∴.

设点E到面SCD的距离为，则，故点E到面SCD的距离

（3）连AC，分别过B作,则即为二面角的平面角. 利用面积法，在中易得在中易得∴,∴二面角为.