热门试卷

（1）证明：因为 ，，

所以   

从而 

在中 

故  从而 

即  ………2分

又因为   ，∥    

所以     ………4分

又因为            

故   

又因为       

所以  ………6分

（2）解：如右图，连接

由（1）知，

故 即为直线与平面所成角………8分

设正方体的棱长为1 ，则

，

在Rt中，有    故 ==………10分

所以 ………12分

略

(1)证明见解析，(2) C1O= ，(3)

(1)(1)DF∥BC,BC⊥AC,∴DF⊥AC

∵平面ACC1A1⊥平面ABC，∴DF⊥平面ACC1A1

∴DF⊥AC1

∵ACC1A1是正方形 ∴AC1⊥DE

∴AC1⊥面DEF∴AC1⊥EF，即EF⊥AC1

(2)∵B1C1∥BC，BC∥DF，∴B1C1……∥平面DEF

点在B1到平面DEF的距离等于点C1到平面DEF的距离

∴DF⊥平面ACC1A1∴平面DEF⊥平面ACC1A1

∵AC1⊥DE∴AC1⊥平面DEF

设AC1∩DE=O，则C1O就是点C1到平面DEF的距离

由题设计算，得C1O= 

(3)当点F为AB的中点即=1时，DF∥BC,∴DF⊥AC,∵AA1⊥面ABC，∴ED⊥DF，∠EDA即为二面角A-DF-E的平面角，由AE=AD，因此∠EDA=

未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，

如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，

截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，

所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，

其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点．

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、补体法、几何体的体积公式等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，取BC中点，由中位线及平行线间的传递性，得到∥∥，即四点共面，利用线面平行的性质，得∥，从而得到E是CN中点，从而得到的值；第二问，利用直三棱柱，得平面，由，利用线面垂直的判定，得平面，利用补体法求几何体的体积，分别求出较小部分和较大部分的体积，再求比值.

试题解析：取中点为，连结，   1分

∵分别为中点

∴∥∥，

∴四点共面，           3分

且平面平面

又平面，且∥平面

∴∥ 

∵为的中点，

∴是的中点，                                            5分

∴．                                                  6分

（2）因为三棱柱为直三棱柱，∴平面，

又，则平面

设，又三角形是等腰三角形，所以.

如图，将几何体补成三棱柱

∴几何体的体积为：

                                                                    9分

又直三棱柱体积为：               11分

故剩余的几何体棱台的体积为：

∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：．                    12分

略

证明：取SD中点E，连接AE，NE，

则四边形AMNE为平行四边形，

                                         …………1分

又平面SAD                            …………3分

（2）平面ABCD，

，

底面ABCD为矩形，

又

平面SAD，

   即为二面角S—CD—A的平面角，

即                                                                      …………5分

为等腰直角三角形，

平面SAD，

又平面SCD

平面SCD，

平面SMC，

平面SMC平面SCD                                                         …………8分

（3），设AD=SA=a，则CD

由（2）可得MN平面SCD，

即为SM在平面SCD内的射影

即为直线SM与平面SCD所成角，

即                                                                    …………9分

而MN=AE=

中，而

中，由得

解得

当时，直线SM与平面SCD所成角为   …………12分

（1）直角在平面内的正投影是钝角；

（2）原猜想错误。∠BAC在一个平面内的正投影∠BA1C小于它本身。

（1）记Rt△ABC，∠BAC=900，记直角顶点A在平面上的正投影为A1­，，且AA1=，则因为，所以∠BA1C为钝角，即直角在平面内的正投影是钝角；

（2）原猜想错误。对于△ABC， ，记直角顶点A在平面上的正投影为A1­，设AA1=，则，令∠BAC=∠BA1C，则由余弦定理得：

=，解之得：，即当点A离平面的距离是时，∠BAC在一个平面内的正投影∠BA1C等于它本身；

若取，则，从而，

，可知∠B A1C∠BAC，即∠BAC在一个平面内的正投影∠BA1C小于它本身。

（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）

试题分析：先证，且，平面ABCD；根据几何法或向量法求出二面角E−AC−D的余弦值.

试题解析：

（Ⅰ）证明：在题图中，由题意可知，

，ABCD为正方形，所以在图中，，

四边形ABCD是边长为2的正方形，

因为，且，

所以平面SAB，               （3分）

又平面SAB，所以，且，

所以平面ABCD.                 （6分）

（Ⅱ）解：方法一： 如图，在AD上取一点O，使，连接EO．

因为，所以EO//SA ，                  （7分）

所以平面ABCD，过O作于H，连接EH，

则平面EOH，所以．

所以为二面角E−AC−D的平面角，           （9分）

. 在Rt△AHO中，

.            （11分）

所以二面角E−AC−D的余弦值为．              （12分）

方法二：以A为原点建立空间直角坐标系，如图，

，            （7分）

易知平面ACD的法向量为，

设平面EAC的法向量为，

，                （9分）

由 所以 可取 

所以，                    （11分）

所以，

所以二面角E−AC−D的余弦值为．              （12分）

（1）证明见解析。

（2）

（3）

（1）是矩形，      --------------1分

又 -------------2分

                   -------------3分

 CD            -------------4分

（2）由，及（I）结论可知DA、DC、DS

两两互相垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系

         --------------5分

                     --------------6分

              --------------7分

AD与SB所成的角的余弦为                 --------------8分

（3）设面SBD的一个法向量为

         --------------9分

又

∴设面DAB的一个法向量为

所以所求的二面角的余弦为                                                   …………11分

解法二

（1）同解法一

（2）矩形ABCD，∴AD//BC，即BC=a，

∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角                      …………5分

在中，由（1）知，SD⊥面ABCD。

中，

CD是CS在面ABCD内的射影，且

                                 --------------6分

      ----------8分

从而SB与AD的成的角的余弦为 

（3）

面ABCD．  

BD为面SDB与面ABCD的交线．

    SDB                              

于F，连接EF，             

从而得：

为二面角A—SB—D的平面角            ------10分

在矩形ABCD中，对角线            

中，

由（2）知在，

而中，SA=a，且AB=2a，

为等腰直角三角形且为直角，

所以所求的二面角的余弦为                  --------------12分