热门试卷

略

（I）略

（II）点E到平面ACD的距离为

（I）证明：连结OC

在中，由已知可得

而

即

平面

（II）解：设点E到平面ACD的距离为

在中，

而

点E到平面ACD的距离为

19．（本小题满分12分）

（I）证明：连结AC，AC交BD于O.连结EO.

底面ABCD是正方形，点O是AC的中点

在中，EO是中位线，.                 ………………3分

而平面EDB且平面EDB，

所以平面EDB.                                   ………………5分

  （II）解： 作交DC于F.连结BF.设正方形

ABCD的边长为.

底面ABCD，

为DC的中点.

底面ABCD，BF为BE在底面ABCD

内的射影，

故为直线EB与底面ABCD所成的角.                                           

………………8分

在中，

在中，

所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 …………………………12分

(1)证明见解析(2)2 (3)

（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD

∴MN⊥PA  又MN⊥AD  且PA∩AD=A

∴MN⊥平面PAD  ………………3分

MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  …………4分

（Ⅱ）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA="A  " ∴BC⊥平面PBA

∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角 

即…………7分

在Rt△PBC中，PC=BC/sin∠BPC=

∴  ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知   PM⊥MN   MQ⊥MN

∴∠PMQ即为二面角P—MN—Q的平面角  …………12分

而

∴   …………14分

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在

（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），…………2分

B（2，2，0）   

设是平面BDE的一个法向量，

则由                 ………………4分

∵   …………5分

（2）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量.                                      ………………7分

设二面角B—DE—C的平面角为，由图可知

∴

故二面角B—DE—C的余弦值为                                                   ………………10分

（3）∵

∴

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，

则，

由                             ………………13分

∴                                                    ………………14分

即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF           ………………15分

用几何法证明酌情给分

（1）)当AB≤AD时，边BC上存在点E，使∠PED=90°;当AB>AD时，使∠PED=90°的点E不存在.（2）边BC上总存在一点，使∠PED为锐角，点B就是其中一点

(1)当AB≤AD时，边BC上存在点E，使∠PED=90°;当AB>AD时，使∠PED=90°的点E不存在.（只须以AD为直径作圆看该圆是否与BC边有无交点）（证略）

（2）边BC上总存在一点，使∠PED为锐角，点B就是其中一点. 

连接BD，作AF⊥BD，垂足为F，连PF，∵PA⊥面ABCD，∴PF⊥BD，又△ABD为直角三角形，∴F点在BD上，∴∠PBF是锐角. 同理，点C也是其中一点.

(2)

证(1)：在三棱锥P-ABC中,∵ AB⊥AC, BP⊥AC，  ∴AC⊥平面ABP,

∴平面ABP⊥平面ABC． 

（2）．作PH⊥面ABC于H, 则H在AB上，连CH，则∠HCP=600      

 当H与A重合时CH最短，棱锥的高PH=CHtan600=CH最短

三棱锥P-ABC的体积V最小．此时，∠ACP=600, PH=AP=3

V=，∵, AB⊥AC，∴．

作，连，由三垂线定理知，可知是二面角A-PC-B的平面角．

在中，PC=6,PA=,AD=．在中可得，二面角A-PC-B的正切值为

证明：⑴∵，，∴.

在四边形中，由，，，可证得，

又由平面，得，

∵正方形中，∴平面，

∵平面，∴，

∵，∴平面；   …………………………6分

⑵以、、为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、.

、、，

分别求得平面与平面的一个法向量，，

向量与的夹角的余弦值为

∴二面角的余弦值为.

略

(I)证明略

(II)

(III)存在，理由略

解：（法1）（Ⅰ）∵，，，∴PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（4分）

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，

∴，∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴与平面所成的角的大小.（8分）

（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，

这时，故存在点E使得二面角是直二面角.（12分）

（法2）如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，

由已知可得，，，.

（Ⅰ）∵，，∴，

∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.（4分）

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴，，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵，

∴，

∴与平面所成的角的大小。（8分）

（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，

使得AE⊥PC，这时，

故存在点E使得二面角是直二面角.（12分）