- 空间几何体的结构
- 共7713题
一个圆锥有三条母线两两垂直,则它的侧面展开图的圆心角为______.
正确答案
设母线长为l,因圆锥有三条母线两两垂直,
则这三条母线可以构成以它们为侧棱、以底面为边长为l的正三角形的正三棱锥,
故由正弦定理得,圆锥的底面直径2R=,解得R=
,
∴圆锥侧面展开图的圆心角为:=
π,
故答案为:π.
如图,平面平面
,
是正方形,
,且
,
、
、
分别是线段
、
、
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求异面直线、
所成角的余弦值.
正确答案
(1)详见试题解析;(2)异面直线、
所成角的余弦值为
.
试题分析:(Ⅰ)取AB的中点M,易得PB//EM且点M在平面EFG内,从而证得PB//平面EFG .
(2)过G作BD的平行线,该平行线与EG所成的角,就是异面直线EG与BD所成的角.
试题解析:(1)证明:取中点
,连结
从而
共面
而在中,
,
平面
,即
平面
6分
(2)取中点
,连结
,
所以
就是异面直线
的夹角
取的中点
,连结
由已知可求得:
所以即为所求 12分
如图所示,AC为的直径,D为
的中点,E为BC的中点.
(Ⅰ)求证:AB∥DE;
(Ⅱ)求证:2AD·CD=AC·BC.
正确答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.
试题分析:(Ⅰ)通过连接BD,通过证明与同一条直线垂直的两条直线垂直的思路进行证明线线平行;(Ⅱ)通过证明△DAC∽△ECD,
试题解析:(Ⅰ)连接BD,因为D为的中点,所以BD=DC.因为E为BC的中点,所以DE⊥BC.
因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90°,所以AB∥DE. 5分
(Ⅱ)因为D为的中点,所以∠BAD=∠DAC,
又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB.
又因为AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.
所以=
,AD·CD=AC·CE,2AD·CD=AC·2CE,
因此2AD·CD=AC·BC. 10分
如图,四边形中(图1),
,
中点为
,将图1沿直线
折起,使二面角
为
(图2)
(1)过作直线
平面
,且
平面
=
,求
的长度。
(2)求直线与平面
所成角的正弦值。
正确答案
(1)(2)
试题分析:因为,中点为
,连接AF,EF.
∵∴AF⊥BD,
∵,∴DB2+DC2=BC2,∴△BCD是以BC为斜边的直角三角形,BD⊥DC,
∵平面
,
DB=2,∴EF为△BCD的中位线,∴EF∥CD,且EF=
CD,
∴EF⊥BD,EF=,
∴∠AFE是二面角A-BD-C的平面角,∠AFE=60°.∴△ABD为等腰直角三角形,∴AF=BD=1,
∴AE=,在直角三角形DFE中,
.
(2)以F为原点,FB所在直线为x轴,FE所在直线为y轴,平行于EA的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则由(1)及已知条件可知B(1,0,0),E(0,,0),A(0,
,
),
D(-1,0,0),C(-1,1,0),
则=(1,-
,-
) ,
=(0,-1,0),
=(-1,-
,-
),
。
设平面ACD的法向量为
=(x,y,z),
则,
∴,y=0,
令x=,则z=-2,∴
=(
,0,-2),故由公式可得直线
与平面
所成角的正弦值为
。
点评:中档题,立体几何问题中,平行关系、垂直关系,角、距离、面积、体积等的计算,是常见题型,基本思路是将空间问题转化成为平面问题,利用平面几何知识加以解决。要注意遵循“一作,二证,三计算”。通过建立空间直角坐标系,利用空间向量,可简化证明过程。
下列三个命题,其中正确的有 ______个.
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行,其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台.
正确答案
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台,平面不一定与底面平行,不正确.
②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台,侧棱不一定相交于一点,不正确.
③有两个面互相平行,其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台.侧棱不一定相交于一点,不正确.
故答案为:0
将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是 ______.
正确答案
圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆,
所以圆锥的底面周长为:2π,
底面半径为:1,圆锥的高为:;
圆锥的体积为:π12
=
π
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点P是棱上一点,则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为______.
正确答案
∵正方体的棱长为1
∴AC1=,
∵|PA|+|PC1|=2,
∴点P是以2c=为焦距,以a=1为长半轴,以
为短半轴的椭圆,
∵P在正方体的棱上,
∴P应是椭圆与正方体与棱的交点,
结合正方体的性质可知,满足条件的点应该在棱B1C1,C1D1,CC1,AA1,AB,AD上各有一点满足条件.
故答案为:6.
已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上.若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为________.
正确答案
本题主要考查球的概念与性质.解题的突破口为解决好点P到截面ABC的距离.
由已知条件可知,以PA,PB,PC为棱的正三棱锥可以补充成球的内接正方体,故而PA2+PB2+PC2=, 由已知PA=PB=PC, 得到PA=PB=PC=2, 因为VP-ABC=VA-PBC⇒
h·S△ABC=
PA·S△PBC, 得到h=
,故而球心到截面ABC的距离为R-h=
.
如图,六棱锥的底面是边长为1的正六边形,
底面
。
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若直线PC与平面PDE所成角为,求三棱锥
高的大小。
正确答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
试题分析:(Ⅰ)由线线垂直得到线面垂直CD⊥平面PAC,进而求证出面面垂直;(Ⅱ)由已知条件求出S△PCD和S△BCD,再利用等体积法求出三棱锥B-PCD的高.
试题解析:(Ⅰ)在正六边形ABCDEF中,CD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCDEF,CDÌ平面ABCDEF,所以CD⊥PA.
又AC∩PA=A,所以CD⊥平面PAC.
因为CDÌ平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.
(Ⅱ)直线PC与底面ABCDEF所成的角∠PCA=45°.
在Rt△PAC中,AC=,所以PA=
,PC=
,
即三棱锥P-BCD的高为,
S△PCD=PC·CD=
,S△BCD=
BC·CD sin120°=
,
设三棱锥B-PCD高为h,由VP-BCD=VB-PCD,得:
S△BCD·PA=
S△PCD·h,
经计算可得:h=,
所以三棱锥B-PCD高为.
(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点.
(I)在平面ABC内,试做出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(II)设(I)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值.
正确答案
(I)见解析(II)
(I)在平面ABC内,过点P作直线l∥BC
∵直线l⊄平面A1BC,BC⊂平面A1BC,
∴直线l∥平面A1BC,
∵△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,结合l∥BC得AD⊥l
∵AA1⊥平面ABC,l⊂平面ABC,∴AA1⊥l
∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线
∴直线l⊥平面ADD1A1;
(II)连接A1P,过点A作AE⊥A1P于E,过E点作EF⊥A1M于F,连接AF
由(I)知MN⊥平面A1AE,结合MN⊂平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE,
∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P,AE⊥A1P,∴AE⊥平面A1MN,
∵EF⊥A1M,EF是AF在平面A1MN内的射影,
∴AF⊥A1M,可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角
设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,可得∠BAD=60°,AB=2且AD=1
又∵P为AD的中点,∴M是AB的中点,得AP=,AM=1
Rt△A1AP中,A1P==
;Rt△A1AM中,A1M=
∴AE==
,AF=
=
∴Rt△AEF中,sin∠AFE==
,可得cos∠AFE=
=
即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于.
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