热门试卷

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

（Ⅰ）证明：取的中点为，连接，

易证：且∥

于是，EF∥MD，而MDÌ平面PCD

所以EF∥平面PCD

（Ⅱ）以点为原点，建系，

易求得(1,1,0)、(，，)、(0，1，0)、(，0，0)，

从而分别求出平面和平面的法向量、，

从而算出二面角大小为．

6；6

依题意，得．

由②，③，得，．　④

由①，④，得，代入①，②，得，或，．

．

以C为原点建立空间直角坐标系

（I）B（0，a，0），N（a，0，a），

∴||==a．…（4分）

（II）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），

∴=（a，-a，2a），=（0，a，2a），

∴•=a×0+（-a）×a+2a×2a=3a2，…（8分）

||==a，

||==a，

∴cos＜，＞===．…（14分）

(1)见解析；（2）.

试题分析：(1)取PD中点G，连接AG、FG，证明即可；（2）由条件可得为等腰直角三角形，利用三棱锥的体积公式计算即可.

试题解析：：（1）当时，取PD中点G，连接AG、FG，则

∴且平面 ∴平面

（2）∵平面且 ∴为等腰直角三角形

∴

（1）证明见试题解析；（2）.

试题分析：（1）要证明线面垂直，需要找出平面中两条相交直线，易知，根据数量关系，利用勾股定理能够知道，即，从而就能够证出平面；（2）解答本题有两种方法.方法一：直接作出高.由平面知平面平面，在中，过D作于则为三棱锥的高，进而求出的长.方法二：三棱锥等体积法.根据，则，从而求出的高.

试题解析：（1）证明：平面

在中，，

又

 平面

（2）

方法一：作出三棱锥的高

平面，

平面平面

 在中，过D作于，则平面

为三棱锥的高

又 在中，过作于,则

在中,

即，

三棱锥的高为

方法二：等体积变换法

在中，过作于，

在中， 过作于,则

即，

又设三棱锥的高为，

，平面 

   即

   三棱锥的高为

（Ⅰ）证明：平面，．∴平面，则．……(2分)

又平面，则．∴平面．                ……(4分)

（Ⅱ）证明：依题意可知：是中点．平面，则，而．

∴是中点．                                                      ………(6分)

在中，，∴平面．                            ………(8分)

（Ⅲ）解法一：平面，∴，而平面．

∴平面，∴平面．                              ………(９分)

  是中点，∴是中点．∴且．

平面，∴．                                    ……(10分)

∴中，．∴．      ……(11分)

∴．                                  ……(12分)

解法二：．       ……(12分) u

略

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析

（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积为从而只要算出四棱锥的高就行了.

面ABCD,

∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，

∴PA⊥DA，

∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，

∠PAB=60°.                

而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=a,

.                                                                                       

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.

作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，

是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.

设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

在

故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.

（Ⅰ）Q为AC的中点; （Ⅱ）二面角Q-BC1-C的余弦值为．

试题分析：（Ⅰ）借助直线AB1∥平面BC1Q，利用面面平行的性质定理可知AB1∥PQ，然后确定点Q的位置；（Ⅱ）利用空间向量的方法求解，分别求出面BC1C的法向量为m＝(1，0，0)和 平面C1BQ的法向量n＝(1，－，2)，然后利用向量的夹角公式计算二面角Q-BC1-C的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）连接B1C交BC1于点P，连接PQ．

因为直线AB1∥平面BC1Q，AB1Ì平面AB1C，平面BC1Q∩平面AB1C＝PQ，

所以AB1∥PQ．

因为P为B1C的中点，且AB1∥PQ，

所以，Q为AC的中点．      

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．

设AB＝BC＝a，BB1＝b，则

面BC1C的法向量为m＝(1，0，0)．

B(0，0，0)，C1(0，a，b)，Q(a， a，0)，

＝(0，a，b)，＝(－a， a，b)．

因QC1与面BC1C所成角的正弦值为，

故＝＝，解得b＝a.

设平面C1BQ的法向量n＝(x，y，z)，则

即取n＝(1，－，2)．

所以有cosám，nñ＝＝．

故二面角Q-BC1-C的余弦值为．

（Ｉ）；（ＩＩ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．

试题分析：（I）根据三视图等条件，求出棱锥底面积和高，可求体积；（II）在面PFC内找一直线平行AE即可证明∥平面；（III）证平面平面只需证明平面过平面的一条垂线即可.

试题解析：（Ⅰ）解：由左视图可得 为的中点，

所以 △的面积为 ．      1分

因为平面，                   2分

所以四面体的体积为

                      3分

．                     4分

（Ⅱ）证明：取中点，连结，．                                  5分

由正（主）视图可得 为的中点，所以∥，．      6分

又因为∥，， 所以∥，．

所以四边形为平行四边形，所以∥．                       8分

因为 平面，平面，

所以 直线∥平面．                                            9分

（Ⅲ）证明：因为 平面，所以 ．

因为面为正方形，所以 ．

所以 平面．                                               11分

因为 平面，所以 ．      

因为 ，为中点，所以 ．

所以 平面．                                              12分

因为 ∥，所以平面．                               13分

因为 平面， 所以 平面平面.                   14分