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（1）（2）二面角的正切值为

试题分析：解：（法一）（1）连接，与的交点为，在中, .

,点为的中点，.又面，则.

则面，而∥，则面,

为直线与平面所成的角, 面，,.

又，.

,,

在中，,

直线与平面所成角的正弦值为             6分

（2）过点作于点,连接,

,平面，即为在平面内的射影， 为二面角的平面角.

中，,,

二面角的正切值为.        12分

(法二)建立间直角坐标系如图，则,,,,,

(1)由已知可得，=为平面的法向量=,

.

直线与面所成角的正弦值为.          6分

（2）设平面的法向量为，,

，，令，

由已知可得，向量为平面的一个法向量,

二面角为 .        12分

点评：解决的关键是熟练的根据判定定理和性质定理来得到角，结合三角形求解，或者利用向量法来求解，属于中档题。

解：（Ⅰ）找BC中点G点，连接AG，FG

F，G分别为DC,BC中点

∴   ∴   //AG

面，∥  DB⊥平面ABC

又∵DB平面

平面ABC⊥平面

又∵G为 BC中点且AC=AB=BC

AG⊥BC

AG⊥平面

平面 ………………………．4分

（Ⅱ）过C作CH⊥AB,则CH⊥平面ABDE且CH=

…………8分

（Ⅲ）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系

则

平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值

法二（略解）：延长DE交BA延长线与R点，连接CE,易知AR="BA=1," ∠RCB=

平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值

略

                        证明：（Ⅰ）因为正方形与梯形所在的平面互相垂直，

所以平面………………1分

因为，所以

取中点，连接

则由题意知：四边形为正方形

所以，

则为等腰直角三角形

则…………5分

则平面

则………………7分

（Ⅱ）取中点，则有

平面…………8分

证明如下：连接

由（Ⅰ）知，

所以平面

又因为、分别为、的中点，所以

则平面………………10分

则平面平面，所以平面……………………12分

略

（1）  略

（2）  

方法一：（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，

可得四边形为矩形，又为矩形，所以，

从而四边形为平行四边形，故．因为平面，

平面，

所以平面．………6分

（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．

由平面平面，，得平面，

从而．所以为二面角的平面角．

在中，因为，，

所以，．又因为，所以，

从而，于是，因为所以当为时，二面角的大小为………12分

方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．设，

则，，，，．

（Ⅰ）证明：，，，

所以，，从而，，

所以平面．因为平面，所以平面平面．

故平面．………6分

（Ⅱ）解：因为，，所以，，从而

解得．所以，．设与平面垂直，

则，，解得．又因为平面，，所以，

得到．所以当为时，二面角的大小为．………12分

略

证明：（1）取CD的中点记为E，连NE，AE．

由N，E分别为CD1与CD的中点可得

NE∥D1D且NE=D1D， ………………………………2分

又AM∥D1D且AM=D1D………………………………4分

所以AM∥EN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形

所以MN∥AE，  ………………………………6分

又AE面ABCD,所以MN∥面ABCD……8分

（２）由AG＝DE　，，DA＝AB

可得与全等……………………………10分

所以，      ……………………………………………11分

又，所以

所以，                     ………………………………………………12分

又,所以，  ……………………………………………………13分

又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG ……………………………………………14分

略

（1）略（2）略（3）

略

（1）在△PAD中，PA＝2，AD＝2，PD＝2，可得PA2+AD2＝PD2故AD⊥PA

又∵AD⊥AB，PA∩AB＝A

∴AD⊥平面PAB

（2）∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角。

在△PAB中，由余弦定理得PB＝＝

∵AD⊥平面PAB，∴BC⊥平面PAB

∴△PBC为直角三角形

故 tan∠PCB＝＝

异面直线ＰＣ与ＡＤ所成的角为arc tan

（3）过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连接PE。

∵AD⊥平面PAB  AD  平面ABCD

∴平面PAB⊥平面ABCD

又 PH⊥AB 则PH⊥平面ABCD

∴HE是PE在平面ABCD内的射影

∵BD⊥HE ∴BD⊥PE（三垂线定理）

故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角

PH＝PA·sin60°＝，AH＝PA·cos60°＝1

BH＝AB－AH＝2，BD＝＝

由Rt△PEH∽Rt△BAD 得HE＝·BH ＝

在Rt△PHE中，tan∠PEH =  =

所以二面角P－BD－A的大小为arc tan

略

证明：（1） 连结D1C， MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.………………2分

又∵D1C∥A1B∴MN∥A1B.同理MP∥C1B.…………………………………………… 4分

而MN与MP相交，MN，MP面MNP，A1B，

A1B面A1C1B.∴面MNP∥面A1C1B.………………6分

证明：（2） 法1，连结C1M和A1M，设正方体的边长为a，

∵正方体ABCD—A1B1C1D1，∴C1M=A1M，

又∵O为A1C1的中点，

∴A1C1⊥MO………………………………………………8分

连结BO和BM，在三角形BMO中，

经计算知：∴OB2+MO2=MB2，

即BO⊥MO.而A1C1，BO面A1C1B，∴MO⊥面A1C1B.

…………………………………………………………12分

法2，连结AB1，B1D,B1D1,则O是B1D1的中点,

∵AD⊥面ABB1A1,A1B面ABB1A1,∴AD⊥A1B.

又A1B⊥A1B,AD和AB1是面AB1D内两条相交直线,  

∴A1B⊥面AB1D,…………………………………………8分

又B1D面AB1D,∴A1B⊥B1D.同理:BC1⊥B1D.                      第20题答案图（2）

又A1B和BC1是面A1BC1内两条相交直线,∴B1D⊥面A1BC1.………………………10分

∵OM是△D1B1D的中位线,∴OM∥B1D.∴OM⊥面A1BC1.…………………………12分

略