热门试卷

解：法一：（I）证明：如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，

得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF．   

∴AB∥平面DEF．  ………………………………………………3分

（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD  

∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角

∴AD⊥BD  ∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD  ∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角，   …………………………………6分

在Rt△EMN中，EM=1，MN=

∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．  ……………………………………8分

（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE    ……………………………9分

证明：在线段BC上取点P，使，过P作PQ⊥CD与点Q，

∴PQ⊥平面ACD   ∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．          …………………………………………12分

法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，，

平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为

则即

所以二面角E—DF—C的余弦值为．     …………………………8分

（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为

设

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．      …………………12分   

略

(1) A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(－a) ,(2) AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°

　(1)以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.

由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(－a).

(2)取A1B1的中点M，于是有M(0，a），连AM，MC1，

有=(－a,0,0）,且=(0，a,0）,=(0,0a)

由于·=0，·=0，所以MC1⊥面ABB1A1，

∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.

∵=

所以所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.

（1）证明：由面.，，所以 

又 ，所以 

（2）取中点，连结，则，且，

所以是平行四边形，，且

所以面;

（3）

过作，交于，由题得

在中，f

所以

所以

略

解：取BC的中点D，连结PD，AD，∵ PB =PC，∴ PD⊥BC

　　∵ PA⊥平面ABC，由三垂线定理的逆定理得 AD⊥BC

　　∴ ∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角

　　∵ PB = PC = BC =" 6"  ，∴ PD = 

　　sin∠PDA=  即二面角P-BC-A的正弦值是

略

(Ⅰ)证明：根据正方体的性质，…………………………………………2分

因为，所以，又

所以，，所以^；…………………………………5分

(Ⅱ)证明：连接，因为，

所以为平行四边形，因此

由于是线段的中点,所以，…………………8分

因为面，平面，

所以∥平面……………………………………10分

(Ⅲ) ……………………………………………12分

略