热门试卷

（1）见解析   （2）

本试题主要是考查了空间几何体中线面平行和二面角的求解的综合运用。

（1）对于线面平行的判定，主要通过线线平行来得到判定即可。

（2）合理的建立空间直角坐标系，然后利用平面的法向量与法向量的夹角得到二面角的平面角的求解

（1）证PA∥ME  5分

（2）如图建系：

平面BCD的法向量易求得平面BDM的一个法向量

所求为

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．

（Ⅱ）证明：由，，可得．

是的中点，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面内的射影是，，．

又，综上得平面．

（Ⅲ）二面角的大小是

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．

（Ⅱ）证明：由，，可得．

是的中点，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面内的射影是，，．

又，综上得平面．

（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．设，

可得．

在中，，，

则．

在中，．

所以二面角的大小是．

解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．

过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．

由已知，可得，设，

可得．

，．

于是，．

在中，．

所以二面角的大小是．

见解析

解法一：（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，

∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，

∴GH//AD//EF，

∴E，F，G，H四点共面。又H为AB中点，

∴EH//PB。又面EFG，平面EFG，

∴PB//面EFG。                                                 

 6分

（2）解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，

∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角。在Rt△MAE中，，

同理，又，

∴在△MGE中，

故异面直线EG与BD所成的角为。           12分

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则，，，，，，，。（1）证明：∵，，，设，即

解得。∴，又∵与不共线，∴、与共面。∵平面EFG，∴PB//平面EFG。 6分

（2）解：∵，，∴。

故异面直线EG与BD所成的角为。                 12分

（1）1（2）

以A为原点建系如图则

   设

（1）由

点即

(2)当

即 

设平面的一个法向量则

令的一个法向量为

二面角的大小为

(Ⅰ)   (Ⅱ) 略

解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴SABCD＝

．……………… 3分

则V＝．    ………………4分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC．           ………………6分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥PC．      ………8分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．……9分

（Ⅲ）证法一：

取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．  ……… 11分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB． ……… 13分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB．  ……… 14分

证法二：

延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

∴C为ND的中点．        ……11分

∵E为PD中点，∴EC∥PN．……13分

∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

∴EC∥平面PAB．  ……… 14分

M为BC的中点

试题分析：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DF所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标D-xyz，

依题意，得D(0，0，0)，A(1，0，0)，F(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，1，1)，

设M(λ，1，0)，平面AEF的法向量为=(x1，y1，z1)，平面AME的法向量为

=(x2，y2，z2)

∵=(0，1，1)，=(-1，0，1)， ∴   ∴

取z1=1，得x1=1，y1=-1  ∴=(1，-1，0) 

又=(λ-1，1，0) ，=(0，1，1)，

∴ ∴

取x2=1得y2=1-λ，z2=λ-1       ∴=(1，1-λ，λ-1)

若平面AME⊥平面AEF，则⊥ ∴=0，

∴1-(1-λ)+(λ-1)=0，解得λ=，

此时M为BC的中点.

所以当M在BC的中点时，平面AME⊥平面AEF.        ……………12分

点评：空间向量解立体几何题目首要的是找到坐标系合适的位置，写出相关点的坐标