热门试卷

不妨设圆柱为底面周长l，圆柱高为h

则有l+h=6，

又圆柱的体积V=h×π(

6-h

2π

)2=(2h×(6-h)×(6-h))≤×(

2h+6-h+6-h

3

)3=，

等号当且仅当2h=（6-h），h=2时成立，此时l=4

故有比为2：1

答：当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高的比为2：1

arctan

解（1）连接BD，设AC与BD相交与点O，连接OE，由BO=OD，PE=ED，有OE//PB，OE面ACE，PB面ACE，面ACE；

（2）DF的中点M，过M作MNAC于N，连EN，EM；由PF面ABCD，PF//EM，则EM面ABCD，有三垂线定理有 为二面角E—AC—D的平面角，

EM=，二面角E—AC—D的大小为arctan

(Ⅰ)   (Ⅱ)   

：（Ⅰ）过点作于,由正三棱柱性质知平面,连接,则为在平面上的射影.，，

为中点，又,所以为的中点.过作于,连结,则,为二面角的平面角

在中，由=，，得.

所以二面角的正切值为 

（Ⅱ）是中点，到平面距离等于到平面距离的2倍，又由（I）知平面，

平面平面，

过作于，则平面,

.故所求点到平面距离为 

（1）；（2）.

试题分析：（1）解法一是利用等体积法求出点到平面的距离，具体做法是：先利用、、两两垂直以及它们的长度计算出三棱锥的体积，然后将此三棱锥转换成以点为顶点，以所在平面为底面的三棱锥通过体积来计算点到平面的距离；解法二是直接利用空间向量法求点到平面的距离；（2）解法一是通过三垂线法求二面角的正弦值，即在平面内作，垂足为点，连接、，证明，，从而得到为二面角的平面角，再选择合适的三角形求出的正弦值；解法二是直接利用空间向量法求二面角的余弦值，进而求出它的正弦值.

试题解析：解法一：（1）如下图所示，取的中点，连接、，

由于，，且，

平面，平面，平面，

平面，，

，为的中点，，

，平面，平面，平面，

平面，，

，且，，

为的中点，，

平面，平面，，，

，

而，，

设点到平面的距离为，由等体积法知，，

即，即，即点到平面的距离为；

（2）如下图所示，过点在平面内作，垂足为点，连接，

，，，

平面，平面，平面，即平面，

平面，，又，，

平面，平面，平面，

平面，，

，，

，，，

同理可知，故二面角的平面角为，

，

在中，，

在中，，，，

由正弦定理得，，

即二面角的正弦值为；

解法二：（空间向量法）由于、、两两垂直，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

（1）由上图知，，，，，

设平面的一个法向量为，，

，

，

，

令，可得平面的一个法向量为，而，

，，

设点到平面的距离为，则，

即点到平面的距离为；

（2）设平面的一个法向量为，，，

，

，

令，可得平面的一个法向量为，

，，，

设二面角的平面角为，则为锐角，

且，，

即二面角的正弦值为.

(1)证明：取A′D的中点G，连结GF，CE，由条件易知

FG∥CD，FG=CD.

BE∥CD,BE=CD.

所以FG∥BE,FG=BE.

故四边形BEGF为平行四边形,

所以BF∥EG

因为平面，BF平面

所以 BF//平面

（2）解：在平行四边形,ABCD中，设BC=a

则AB=CD=2a,  AD=AE=EB=a,

连CE，因为

在△BCE中，可得CE=a,

在△ADE中，可得DE=a,

在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE,

在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE.

由平面A′DE⊥平面BCD,

可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.

取A′E的中点N，连线NM、NF，

所以NF⊥DE,NF⊥A′M.

因为DE交A′M于M,

所以NF⊥平面A′DE,

则∠FMN为直线FM与平面A′DE新成角.

在Rt△FMN中，NF=a, MN=a, FM=a,

则cos=.

所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为

略

解：（Ⅰ）证明：连 

四边形是平行四边形 则 ………2分

又平面，平面……3分//平面     ………4分

（Ⅱ） 由已知得则 ………5分

由长方体的特征可知：平面 而平面， 则……6分

……7分   平面 ……8分   

又平面平面平面      ………9分

（Ⅲ）四面体D1B1AC的体积

 ………12分

解：（1）证明：由直三棱柱性质得， B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，

又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面 ABB1A1，

又AC平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1……………4分       

（2）过作,垂足为,过作,垂足为,连结,…6分

平面平面,且两垂直平面的交线为,平面,

由三垂线定理知，,为二面角的平面角，……8分

设，平面为直线与平面

所成的角，故；

所以

所以二面角的正弦值为………………12分.

同解析。

证明：，不妨设共面于平面，设

，即，所以三线共面