热门试卷

,,线段AC的中点F

解：（Ⅰ）连接A1C.∵A1B1C1－ABC为直三棱柱，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥BC.

∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A1C1CA.

∴为与平面A1C1CA所成角，.

∴与平面A1C1CA所成角为.

（Ⅱ）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A1G于M，连结BM，

∵BC⊥平面ACC­1A1，∴CM为BM在平面A1C1CA内的射影，

∴BM⊥A1G，∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角，

平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点，

∴CG=2，DC="1" 在直角三角形CDG中，，.

即二面角B—A1D—A的大小为.

（Ⅲ）取线段AC的中点F，则EF⊥平面A1BD.

证明如下：

∵A1B1C1—ABC为直三棱柱，∴B1C1//BC，

∵由（Ⅰ）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA，

∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F，当F为AC的中点时，

C1F⊥A1D，∴EF⊥A1D.

同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面A1BD.

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）∵A1B1C1—ABC为直三棱柱，C1C=CB=CA=2，

AC⊥CB，D、E分别为C1C、B1C1的中点.

建立如图所示的坐标系得：

C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），

C1（0，0，2）， B1（2，0，2）， A­1（0，2，2），

D（0，0，1）， E（1，0，2）.

，设平面A1BD的法向量为，

 .

平面ACC1A1­的法向量为=（1，0，0），.

即二面角B—A1D—A的大小为.

（Ⅲ）F为AC上的点，故可设其坐标为（0，，0），∴.

由（Ⅱ）知是平面A1BD的一个法向量，

欲使EF⊥平面A1BD，当且仅当//.

∴，∴当F为AC的中点时，EF⊥平面A1BD.

（1）略；（2）；（3）

（1）证明：连接,交于点连接,则是的中位线，,又,.

（2）在正三棱锥中，的中点，则,从而AD⊥MC，又CM⊥AC1，则CM和面ADC1内的两条相交直线AD，AC1都垂直，,于是,则与互余，则与互为倒数，易得,连B1D,,,三棱锥的体积为.

（3）过D作DH⊥AC，垂足为H，过H在面内作，垂足为G，易证是二面角的平面角，在中，,,在中，

方法2：以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，设，则,,,,，， ，，，，设平面的法向量，则，

.

（2），,，.平面的法向量为，点到平面的距离，.

.

（3）由（2）知平面的法向量为，取的中点为,所以面的法向量为,设二面角的平面角为，则.

（I）

（II） C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为

)证明：连结CD.

∵三棱柱ABC-A，BC是直三棱柱.

∴

∴CD为C1D在平面ABC内的射影.

∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点.

∴

∴

∵

∴

（Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.

∵D、E分别为AB、BC的中点.

∵

又

∴

∵AF为MF在平面ABC内的射影，

∴

∴为二面角的平面角，.

在△MAF中, ,

∴

作，垂足为G.

∵

∴

∴

∴

在△GAF中,，AF=

∴，即A到平面MDE的距离为.

∵∴

∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为，

解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.

∵D、E分别为AB、CB的中点，

∴

又∵

∴

∵

∴AF为MF在平面ABC内的射影，

∴

∴为二面角的平面角，.

在△MAF中, ,

∴

设C到平面MDE的距离为h.

∵,

∴

∴

∴,即C到平面MDE的距离相等,为

，

解：（Ⅰ）当时，取的中点，连接，因为为正三角形，

则，由于为的中点时，∵平面,∴平面,∴.

（Ⅱ）当时，过作于,如图所示，

则底面,过作于,连结，则,

为二面角的平面角，又,

又，,

即二面角的大小为.

(Ⅲ) 设到面的距离为，则,平面,

即为点到平面的距离，

又，

即

解得，即到平面的距离为.

(Ⅰ) 见解析 (Ⅱ)

(Ⅰ)如图，取的中点，连接.

则. （2分）

因为，是的中点，所以，且，

所以故,即直线与平面所称的角为（12分）

（Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD，

所以PD⊥AD．（2分）

又因为ABCD是矩形，

所以AD⊥CD．（3分）

因为PD∩CD=D，

所以AD⊥平面PCD．

又因为PC⊂平面PCD，

所以AD⊥PC．（5分）

（Ⅱ）因为AD⊥平面PCD，

所以AD是三棱锥A-PDE的高．

因为E为PC的中点，且PD=DC=4，

所以S△PDE=S△PDC=×(×4×4)=4．（7分）

又AD=2，

所以VA-PDE=AD•S△PDE=×2×4=．（9分）

（Ⅲ）取AC中点M，连接EM，DM，

因为E为PC的中点，M是AC的中点，

所以EM∥PA．

又因为EM⊂平面EDM，PA⊄平面EDM，

所以PA∥平面EDM．（12分）

所以AM=AC=．

即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为．（14分）

（1）证明过程详见解析；（2）当时，最大值为.

试题分析：本题主要考查空间两条直线的位置关系、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，先作辅助线，由面面垂直的性质得平面，所以垂直于面内的线，又可以由已知证出四边形为正方形，所以，再利用线面垂直的判定证明平面，从而得；第二问，由已知，利用线面垂直的判定证明面，结合第一问的结论平面，得，设出三棱锥的高，列出体积公式，通过配方法求最大值.

试题解析：（1）证明：作，交与，连结，，　　　      1分

∵平面平面，交线，平面，

∴平面，又平面，故．    3分

∵，，．

∴四边形为正方形，故．                   5分

又、平面，且，故平面．

又平面，故．                        6分

（2）解：∵，平面平面，交线，平面．

∴面．又由（1）平面，故，  7分

∴四边形是矩形，，故以、、、为顶点的三

棱锥的高．                         9分

又．                10分

∴三棱锥的体积

（）

当时，最大值为   12分

（1）略

（2）

（1）

连接FG　∵F、G分别为CD、C1D1的中点，

∴FGCC1　从而FGBB1

∴B、B1、F、G四点共面．

连接BF并延长与AD的延长线交于点H．

∵F为CD的中点，且BC∥A                    D．

∴△HFD△BFC　∴DH＝BC＝3

∴EH＝DE+DH＝5．　又∵BE＝5，且F为BH的中点．

∴EF⊥BF，又∵BB1⊥平面ABCD，且EF平面ABCD内．

∴BB1⊥EF　∴EF⊥平面BB1GF．　　从而EF⊥平面BB1G．

（2）二面角E－BB1－G的大小等于二面角F－BB1－E的大小

∵EF⊥平面FBB1　且EB⊥BB1　FB⊥BB1

即∠EBF为二面角F­－BB1－E的平面角

在△EFB中，EB＝5，EF＝．　∴

∴∠EBF＝　∴二面角E－BB1－G的大小为

解法2：以A为坐标原点，AB为x轴，AA1为y轴，AD为Z轴建立空间直角坐标系，

则E（0，0，3）、F（2，0，4）、G（2，4，4）、B（4，0，0）、B1（4，4，0）

（1）、、

∵，

∴EF⊥BB1，EF⊥B1G　∴EF⊥平面BB1G

（2）∵EF⊥平面BB1G　∴为平面BB1G的一个法向量

设平面EBB1的一个法向量为

则　解得，取

∴

∴二面角E－BB1－G的大小为