热门试卷

设圆台的母线长为l，

则圆台的上底面面积为S上=π•22=4π，

圆台的下底面面积为S下=π•52=25π，

所以圆台的底面面积为S=S上+S下=29π

又圆台的侧面积S侧=π（2+5）l=7πl，

于是7πl=29π，即l=．

（1）证明略

（2）4

（3）

（1）以所在直线为轴，所在直线轴，建立空间直角坐标系，由条件可设

(0,0,4), (0,0,0), (0,–4，0)，(4,–4,0);

则（0,–2,2），（2,–2，2）,                    --- 2分

平面的法向量(1,0,0 ), 而,

因为, 所以侧面⊥侧面;                            --- 2分

(或 ∵ 底面， ∴ 平面⊥平面，               --- 2分

又∵ ⊥，∴ ⊥平面, ∴ 侧面⊥侧面;) .     --- 2分

(2) 在等腰直角三角形中, , 又中位线, 而由(1)

⊥平面, 则⊥平面, ∴ ,                    --- 2分

所以平面, 那么线段即为点到平面的距离. --- 2分

（3）由(1)所建坐标系, 得=(–4,2,2), =（2,–2，2）,

∴·="–16," 又||·||=24,                             --- 2分

<,>=–,

∴ 与所成的角的余弦值是.          --- 2分

（1）证明见解析。

（2）

（3）

（1）证明：四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1//CC1，

又CC1面ABB1A1，所以CC1//平面ABB1A1，

ABCD是正方形，所以CD//AB，

又CD面ABB1A1，所以CD//平面ABB1A1，

所以平面CDD1C1//平面ABB1A1，

所以C1D//平面ABB1A1。

（2）ABCD是正方形，AD⊥CD，

因为A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz，

在△ADA1中，由已知可得A1D＝，

所以D（0，0，0），A1（0，0，），A（1，0，0），C1（－1，1，）

B1（0，1，），D1（－1，0，），B（0，1，0）

因为A1D⊥平面ABCD，

所以A1D⊥平面A1B1C1D1，

A1D⊥B1D1，

又B1D1⊥A1C1，

所以B1D1⊥平面A1C1D1，

所以平面A1C1D1的一个法向量为＝（1，1，0）

设与所成的角为β，

则，

所以直线BD1与平面A1C1D1所成角的正弦值为。

（3）设平面A1C1A的法向量为，

则，所以

令c＝，可得＝

设二面角D—A1C1—A的大小为α，

则

(1)先证 AO⊥CO, AO⊥BD   (2)

试题分析：(1)根据题意知，在△AOC中，，，

所以，所以AO⊥CO．

因为AO是等腰直角E角形ABD的中线，所以AO⊥BD．

又BDCO=O，所以AO⊥平面BCD．

(2)法一 由题易知，CO⊥OD．如图，以O为原点，

OC、OD所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则有O(0，0，0)，，，．

设，则，．

设平面ABD的法向量为，

则即

所以，令，则．

所以．

因为平面BCD的一个法向量为，

且二面角的大小为，所以，

即，整理得．

因为，所以，

解得，，所以，

设平面ABC的法向量为，

因为，，

则即

令，则，．所以．

设二面角的平面角为，则

．

所以，即二面角的正切值为．

法二 在△ABD中，BD⊥AO，在△BCD中，BD⊥CO，

所以∠AOC是二面角的平面角，即∠AOC=．

如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H，

因为BD⊥CO，BD⊥AO，且COAO=O，

所以BD⊥平面AOC．

因为AH平面AOC，所以BD⊥AH．

又CO⊥AH，且COBD=O，所以AH⊥平面BCD．

过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK．

因为BC⊥AH，AKAH=A，所以BC⊥平面AHK．

因为HK平面AHK，所以BC⊥HK，

所以∠AKH为二面角的平面角．

在△AOH中，∠AOH=，，则，，

所以．

在R t△CHK中，∠HCK=，所以．

在 R t△AHK中，，

所以二面角的正切值为．

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、直线与平面所成的角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．

（1）设正三棱锥的底面中心为H，

由题意知PH=1，取BC中点E，

连接HE、PE，

则HE=，侧面的高PE=，

S全=3××2×+×2×2×

=9+6．

（2）过O作OG⊥PE于点G，

则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，

∴=，

∴R=-2．

证明：（1）如图，AH⊥面SBC，

设BH交SC于E，连接AE

∵H是△SBC的垂心

∴BE⊥SC，

∵AH⊥平面SBC，SC⊆平面SBC

∴AH⊥SC，结合BE∩AH=H

∴SC⊥平面ABE，

∵AB⊆平面ABE，

∴AB⊥SC

设S在底面ABC内的射影为O，则SO⊥平面ABC，

∵AB⊆平面ABC

∴AB⊥SO，结合SC∩SO=S

∴AB⊥平面SCO，

∵CO⊆平面SCO

∴CO⊥AB，同理BO⊥AC，

可得O是△ABC的垂心

∵△ABC是正三角形

∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心

∴三棱锥S-ABC为正三棱锥．…（6分）

（2）由（1）有SA=SB=SC=2，

延长CO交AB于F，连接EF

∵CF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，

∴EF⊥AB，

∴∠EFC为二面角H-AB-C的平面角，∠EFC=30°，

∵SC⊥平面ABE，EF⊆平面ABE，

∴EF⊥SC，Rt△EFC中，∠ECF=60°，

可得Rt△SOC中，OC=SCcos60°=，

SO=SCsin60°=3，

∴正三角形ABC中，AB=OC=3，

S△ABC=•32=

∴VS-ABC=S△ABC•SO=…（12分）

1，

解：(1)首先建好空间直角坐标系，以A为原点，

AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴.

设，由已知得，

所以PA的长为1；

(2)先证明，

从而得PB平面AMD；

(3)平面AMD的法向量为，

又，，

所以棱PC与平面AMD所成角的余弦值为.