热门试卷

（1）证明见答案 （2）   （3）证明见答案

（1）证法：点是正△中边的中点，

．

又底面，．

平面，．

，．

证法：如图（１），连结，则．

点是等腰△的底边的中点，．

，．

（2）作于，平面平面，平面于，即的长为点到平面的距离，在△中，，，

，即点到平面的距离为．

（3）证明：直线平面．

如图（3）连结交于，则为的中点．

是的中点，．

又平面，平面，平面．

（1）两个面互相平行且全等的五边形，则这两个面肯定是几何体的上、下底面，

其余各面是全等的矩形，则这些矩形是侧面，

符合直五棱柱的定义和结构特点，

故几何体的名称：直五棱柱；

（2）根据等腰三角形的对称性可知，

一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形，

相当于一个直角三角形绕着一直角边所在的直线旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形，

符合圆锥的定义和结构特点，故几何体的名称：圆锥．

(1) 与所成的角为。

（2）与间的距离为

(1)以D为原点,,DA,DC,DD1分别为X、Y、Z轴建立如图的空间坐标系。则。

由于M、N是的中点，

从而。

则

故与所成的角为。

（2）设与都垂直的方向向量为。

则   即  即

取，则。

所以与间的距离为

由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：

圆台下底面、侧面和一半球面 （3分）

S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π．

故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π=68π （7分）

由V圆台=×[π×22++π×52]×4=52π，（9分）

V半球=π×23×=π （11分）

所以，旋转体的体积为V圆台-V半球=52π-π=π(cm3) （12分）

（Ⅰ）平面

（Ⅱ）二面角的大小为

（Ⅲ）点到平面的距离为

解法一：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

连结，在正方形中，分别为

的中点，

，

．

在正方形中，，

平面．

（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．

，

为二面角的平面角．

在中，由等面积法可求得，

又，

．

所以二面角的大小为．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距离为．

设点到平面的距离为．

由得，

．

点到平面的距离为．

解法二：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

（Ⅱ）设平面的法向量为．

，．

，，

令得为平面的一个法向量．

由（Ⅰ）知平面，

为平面的法向量．

，．

二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，

．

点到平面的距离

（I）证明见解析。

（II）

（III）

（I）

∴PA⊥BC

∴BC⊥平面PAB

又E是AB中点，

平面PAB

∴BC⊥PE.                                                                                     …………6分

（II）建立直角坐标系

则B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），

由（I）知，BC⊥平面PAE，

是平面PAE的法向量.

设平面PEC的法向量为

则

二面角C—PE—A的余弦值为                                             …………10分

（III）连结BC，设AB=a，

是直角三角形，

         …………13分

∵长、宽、高分别为a、b、c长方体的体积是8cm2，

∴abc=8，

∵它的全面积是32cm2，

∴2（ab+bc+ca）=32，

∵b2=ac，

∴b=2，ac=4，a+c=6，

∴这个长方体所有棱长之和为4（a+b+c）=32（cm）．