热门试卷

 （1）见解析（2）

（1）证明：连结                                  1分

是的中点

                                        2分

                  3分

                                          4分

是的中点，                         5分

连,是矩形，过点且为的中点

同理可证：                                          6分

平面                                     7分

在等腰直角三角形中，.              12分

                                13分

  所以…                          14分

或解：（1）分别以为轴建立直角坐标系，         1分

则               2分

                     3分

                                     4分

,即                 6分

                                          7分

（2）设点平面的法向量为                       8分

                                 10分

解得 即                                    11分

又平面的法向量为                           12分

                                       13分

，即所求的二面角的平面角的余弦值为            14分

（I）

（II）

解法一：

（I）设侧棱长为

∴…………2分                     

得  …………3分

过E作EFBD于F，连AE，则AFBD。

为二面角A—BD—C的平面角  …………5分

…………7分

（II）由（I）知

过E作  …………9分

 …………11分

 …………12分

解法二：

（I）求侧棱长部分同解法一。 …………3分

如图，建立空间直角坐标系，则

设是平面ABD的一个法向量。                              

由  …………5分

而是平面BCD的一个法向量， ………6分

  …………7分

  …………8分

（II）…………9分

 …………12分

（Ⅰ）AE⊥BC

（Ⅱ）直线PF与平面DBC所成的角的范围为

证明：（I）取BC的中点O，连接EO,AO，  EO//DC所以EO⊥BC  

因为为等边三角形，所以BC⊥AO 所以BC⊥面AEO,故BC⊥AE ………4分

（II）连接PE，因为面BCD⊥面ABC，DC⊥BC，所以DC⊥面ABC，而EODC

所以EOPA，故四边形APEO为矩形 ………………………………………5分

易证PE⊥面BCD,连接EF,则PFE为PF与面DBC所成的角， ………………7分

又PE⊥面BCD，所以，

∴为面与面所成的角，即，……………9分

此时点即在线段上移动，设，则，

，

所以直线PF与平面DBC所成的角的范围为。…………………12分

  （1）60° （2）

解法一：

(1) 过O作OF⊥BC于F，连接O1F，

∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，

∴∠O1FO是二面角O1－BC－D的平面角，········ 3分

∵OB = 2，∠OBF = 60°，∴OF =．

在Rt△O1OF中，tan∠O1FO =

∴∠O1FO="60°" 即二面角O1—BC—D的大小为60°············· 6分

(2) 在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C

∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F．

过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，··········· 10分

∴OH = ∴点E到面O1BC的距离等于················ 12分

解法二：

(1) ∵OO1⊥平面AC，

∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，········· 2分

建立如图所示的空间直角坐标系（如图）

∵底面ABCD是边长为4，∠DAB = 60°的菱形，

∴OA = 2，OB = 2，

则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O1（0，0，3）··· 3分

设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，

∴，则z = 2，则x=－，y = 3，

∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）········ 5分

∴ cos<，>=，

设O1－BC－D的平面角为α， ∴cosα=∴α=60°．

故二面角O1－BC－D为60°．······················ 6分

(2) 设点E到平面O1BC的距离为d，

∵E是O1A的中点，∴=（－，0，），············· 9分

则d=

∴点E到面O1BC的距离等于．···················· 12分

见解析

证明：（I）

 ………………6分

（II）四边形ADPF是边长为1的正方形，

   ………………12分

略

，

解法一：（1）等体积法．

取CD中点O，连OB，OM，则OB=OM=，OB⊥CD，MO⊥CD．

又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，MO∥平面ABC．M、O到平面ABC的距离相等．

作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC．

求得OH=OC•=，

MH=．

设点到平面的距离为d，由得．

即，

解得．

（2）延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面与平面的交线．

由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.

因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.

，

，.

则所求二面角的正弦值为

解法二：取CD中点O，连OB，OM，则

OB⊥CD，OM⊥CD．又平面平面,则MO⊥平面.

取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．OB=OM=，则各点坐标分别为C（1，0，0），M（0，0，），B（0，，0），A（0，-，）.

（1）设是平面MBC的法向量，则,.

由得；

由得．

取．，则

．

（2），.

设平面ACM的法向量为，由得解得，，取.又平面BCD的法向量为.

所以，

设所求二面角为，则.

,

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，

点A为坐标原点，设,依题意得,

,,

（1）  解：易得,

于是

所以异面直线与所成角的余弦值为

（2）  证明：已知,,

于是·=0，·=0.因此，,,又

所以平面

(3)解：设平面的法向量，则,即

不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。

于是，从而

所以二面角的正弦值为

方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为

（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.

连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED

(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角

易知，所以，又所以，在

连接A1C1,A1F 在

。所以

所以二面角A1-DE-F正弦值为

（I）见解析（II）p的最小值等于7/8

本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分

解法一：

（I）                  证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1 D1

又∵EH∥A1 D1，∴AD∥EH.

∵AD￠平面EFGH

EH 平面EFGH

∴AD//平面EFGH.

（II）               设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1 =2a2b，

几何体EB1F-HC1G的体积V1 =（1/2EB1 ·B1F）·B1C1 =b/2·EB­1 ·B1 F

∵EB12 + B1 F2=a2

∴EB12 + B1 F2≤ （EB12 + B1 F2）/2 = a2 / 2,当且仅当EB­1 =B1 F=  a时等号成立

从而V1 ≤ a2b /4 .

故 p=1-V1/V ≥=

解法二：

（I）                   同解法一

（II）                设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1 =2a2b ，

几何体EB1F-HC1G的体积

V1=（1/2 EB­1 ·B1 F）·B1C1 =b/2 EB­1 ·B1 F

设∠B1EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB­1 =" a" cosθ，B1 F ="a" sinθ

故EB­1 ·B1 F = a2 sinθcosθ=，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.

从而

∴p=1- V1/V≥=，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.

所以，p的最小值等于7/8