热门试卷

（1）（2）二面角的正切值为

（（Ⅰ）∵BC∥AD， AD面ADE,

∴点G到平面ADE的距离即点B到平面ADE的距离．

连BF交AE于H，则BF⊥AE，又BF⊥AD．

∴BH即点B到平面ADE的距离．）

在Rt△ABE中，．

∴点G到平面ADE的距离为．

（Ⅱ）过点B作BN⊥DG于点N，连EN，

由三垂线定理知EN⊥DN．            

∴为二面角的平面角．

在Rt△BNG中，

∴

则Rt△EBN中， 

所以二面角的正切值为．

证明略

  (1)∵E,F分别是AB,BD的中点,

∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD.

∵EF平面ACD,AD平面ACD,

∴直线EF∥平面ACD.

(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD.

∵CB=CD,F是BD的中点,

∴CF⊥BD.又EF∩CF=F,

∴BD⊥平面EFC.

∵BD平面BCD,

∴平面EFC⊥平面BCD.

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) ，不存在点.

试题分析：(Ⅰ)先证明线面垂直平面,再证明面面垂直平面⊥平面；(Ⅱ)先建立直角坐标系，设平面的法向量为，利用两向量垂直，，列表达式，求出法向量，再由直线与平面所成的角为，得出法向量中的参量；先设存在点，找出的坐标，利用距离相等，列出表达式，看方程是否有根来判断是否存在点.

试题解析：解法一：

(Ⅰ)证明：因为平面，平面，

所以，又，，

所以平面，又平面，

所以平面⊥平面.                 3分

(Ⅱ)以为坐标原点，建立空间直角坐标系 (如图)．

在平面内，作交于点，则.

在中，，

.

设，则，．

由得，

所以，，，

，．                 5分

(ⅰ)设平面的法向量为．

由，，得

取，得平面的一个法向量．

又，故由直线与平面所成的角为得

，即.

解得或 (舍去，因为)，所以.          7分

(ⅱ)假设在线段上存在一个点，使得点到点的距离都相等．

设 (其中)．

则，，

．

由，得，

即；①

由，得. ②

由①、②消去，化简得. ③

由于方程③没有实数根，所以在线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等．

从而，在线段上不存在一个点，

使得点到点的距离都相等．              12分

解法二：

(Ⅰ)同解法一：

(Ⅱ)(ⅰ)以为坐标原点，建立空间直角坐标系 (如图)．

在平面内，作交于点，

则，

在中，

，

.

设，则，．

由得.

所以，，，

，．                 5分

设平面的法向量为．

由，，得

取，得平面的一个法向量．

又，故由直线与平面所成的角为得

，即.

解得或 (舍去，因为)，所以.          7分

(ⅱ)假设在线段上存在一个点，使得点到点的距离都相等．

由 ，得，

从而，即，

所以.

设，则，.

在中，

，这与矛盾．

所以在线段上不存在一个点，使得点到的距离都相等．

从而，在线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等

（1）三视图（见右图）

（2）ABCD是正方形  ∴  BC⊥AB

∵面ABCD⊥面ABG  ∴  BC⊥面ABG

∵AG面ABG    ∴  BC⊥AG

又  BH⊥面AGC     ∴  BH⊥AG

∵ BCBH="B    "  ∴  AG⊥面AGD

∴面AGD⊥面BGC

（3）由（2）知  AG⊥面BGC   ∴AG⊥BG  又AG=BG

∴△ABG是等腰Rt△，取AB中点E，

连结GE，则GE⊥AB

∴ GE⊥面ABCD  

∴  又   ∴取AC中点M，则    因此：

   即点M是三棱锥D—ACG的外接球的球心，

半径为   ∴ 

(1)证明略 (2) 存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点.

（1） 设PA=1，由题意BC=PA=1，AD=2.

∵PA⊥平面ABCD，

∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA=45°,

∴AB=1,由∠ABC=∠BAD=90°,

易得CD=AC=，由勾股定理逆定理得AC⊥CD.

又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC，

又CD平面PCD，

∴平面PAC⊥平面PCD.

（2）存在点E使CE∥平面PAB.

分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0），

设E（0，y，z），则=（0，y，z-1），

=（0，2，-1）.

∵∥，∴y·（-1）-2（z-1）="0"                                        ①

∵=(0,2,0）是平面PAB的法向量，

又=（-1,y-1,z），若使CE∥平面PAB，

则⊥.

∴（-1，y-1，z）·（0，2，0）=0，

∴y=1代入①，得z=.

∴E是PD的中点，

∴存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点.

（1）AH∶HD=3∶1（2）证明略

(1) ∵==2，∴EF∥AC.

∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，

且平面EFGH∩平面ACD=GH，

∴EF∥GH.而EF∥AC，

∴AC∥GH.

∴==3,即AH∶HD=3∶1.

（2）证明 ∵EF∥GH,且=，=，

∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.

令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD，

P∈FG，FG平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，

∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.

(Ⅰ)证明略 (Ⅱ)证明略 (Ⅲ)A点到平面A1MC的距离为

以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.

,,设平面A1BC的法向量为

又,,,即AD//平面A1BC.

,,设平面A1MC的法向量为:,

又,,设平面A1BD1的法向量为:,

,,即平面A1MC平面A1BD1.

设点A到平面A1MC的距离为d,

是平面A1MC的法向量,

又,A点到平面A1MC的距离为:.

证明：取BC中点F，连接EF，则EFB1B，从而EFDA

连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF∥DE．又DE⊥平面BCC1，故AF⊥平面BCC1，

从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC．