热门试卷

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

19．解法一：（Ⅰ）平面ACE.  

∵二面角D—AB—E为直二面角，且，平面ABE.

（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h， 

平面BCE， 

∴点D到平面ACE的距离为解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直

线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行

于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系

O—xyz，如图.

面BCE，BE面BCE，，

在的中点，

 设平面AEC的一个法向量为，

则解得

令得是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B—AC—E的大小为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

（I）取PB的中点F，联结MF、CF，∵M、F分别为PA、PB的中点．

∴MF∥AB，且MF=AB．

∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，

∴MF∥CD且MF=CD．

∴四边形CDFM是平行四边形．

∴DM∥CF．

∵CF平面PCB，

∴DM∥平面PCB．                             4分

（Ⅱ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD．                                    

∵PA=PD，       ∴PG⊥AD．

∵AB=AD，且∠DAB=60°，

∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．

∴AD⊥平面PGB．

∴AD⊥PB．              8分

（Ⅲ）VP-MBD=VB-PMD       10分

VB-PMD =××××=     14分

（1）CM平行于平面PDA（2）存在点Q为BC的中点，使二面角A—PD—Q为

（1）取PA的中点N，连MN、DN，易证MN不平行于CD，…2分

，

//面PDA。                                   …………4分

（2）分别以BC、BA、BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，B为原点，则A（0，2，0），P（0，0，1），D（1，1，0）  ………5分

假设BC边上存在点Q，使得二面角A—PD—Q为120°，设Q（x，0，0），，

平面PDQ的法向量为，

则由，

及，得

                     …………8分

同理设平面PDA的法向量为…………10分

解得

故存在点Q为BC的中点，使二面角A—PD—Q为…………12分

（1）（2）证明略，（3）1

(1) 取PC的中点G，

连接EG、FG，

∵F为PD的中点，

∴GFCD.

∵CDAB，又E为AB的中点，

∴AE GF.

∴四边形AEGF为平行四边形.

∴AF∥GE，且AF平面PEC，因此AF∥平面PEC.

(2)  PA⊥平面ABCD，

则AD是PD在底面上的射影.又ABCD为矩形，

∴CD⊥AD，则CD⊥PD.因此CD⊥AF，

∠PDA为二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°.

F为Rt△PAD斜边PD的中点，

AF⊥PD，PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD.

由（1）知AF∥EG.∴EG⊥平面PCD.

∵EG平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.

（3） 由（1）（2）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC交PC于H，则FH⊥平面PEC.

∴FH的长度为F到平面PEC的距离，

即A到平面PEC的距离.

在△PFH与△PCD中，∠P为公共角，

∠FHP=∠CDP=90°，

∴△PFH∽△PCD，∴=.

∵AD=2，PF=，PC===4，

∴FH=×2=1.

∴A到平面PEC的距离为1.

（2）

（1）设AC与BD交点为O，连PO；∵P—ABCD是正四棱锥，

∴PO⊥面ABCD，…1分

∴AO为PA在平面ABCD上的射影， 又ABCD为正方形，∴AO⊥BD，

由三垂线定理知PA⊥BD，而BD∥B1D1；∴

（2）∵AO⊥面PBD，连PO，则∠APO为所求角；

可以计算得，

（1）略       （2）

略

（Ⅱ）

解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，

连接A1D，C1F1，CF1，因为AB="4," CD=2,且AB//CD，

所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，

所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，

所以直线EE//平面FCC.······6分

（2）因为AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴,    ··········11分

在Rt△OPF中,,,所以

二面角B-FC-C的余弦值为.·······14分

连接BC，

 ，